中國剩余定理

中國剩余定理

有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二。問物幾何？即，一個整數除以三余二，除以五余三，除以七余二，求這個整數。

《孫子算經》中首次提到了同余方程組問題，以及以上具體問題的解法，因此在中文數學文獻中也會將中國剩余定理稱為孫子定理。

換句話說：“一個正整數除以3余2，除於5余3，除於7余2，求這個正整數是幾？”

基本解法：

1）先找到除以3余2，除於7余2的數是那些。經過分析得到滿足要求的數是21的倍數加2。

       2，23，44，65，96，107，........

2）在上述結果中繼續尋找除以5余3的數。

3）滿足上述要求的正整數是：23，128，233，338

這里 128-23=105  正好是[3,5,7]的最小公倍數

古人的解法：

先找5和7的公倍數中除以3余1的數：70

再找3和7的公倍數中除以5余1的數：21

再找3和5的公倍數中除以7余1的數：15

70*2+21*3+15*2=233

233-105=128

128-105=23

所以這個正整數最小是23.

 

先考慮問題的分解：

問題1：計算一個整數  ，使得它滿足除以3余2、除以5余3、除以7余2。

如果能夠找到三個整數  ，使得：

 除以3余2、除以5余0、除以7余0；

 除以3余0、除以5余3、除以7余0；

 除以3余0、除以5余0、除以7余2；

那么令  ，就很容易驗證這時的  就滿足除以3余2、除以5余3、除以7余2。

分別稱找到整數  的問題為問題1-1、問題1-2、問題1-3。可以看出這三個問題本質上是類似的。

 

 

普通的中國剩余定理要求所有的互素，那么如果不互素呢，怎么求解同余方程組？

　　這種情況就采用兩兩合並的思想，假設要合並如下兩個方程：

　　那么得到：

　　我們需要求出一個最小的xx使它滿足：

　　那么x1x1和x2x2就要盡可能的小，於是我們用擴展歐幾里得算法求出x1x1的最小正整數解，將它代回a1+m1x1，得到x的一個特解x′，當然也是最小正整數解。

　　所以xx的通解一定是x′加上lcm(m1,m2)∗k，這樣才能保證x模m1和m2的余數是a1和a2。由此，我們把這個x′x′當做新的方程的余數，把lcm(m1,m2)當做新的方程的模數。（這一段是關鍵）

　　合並完成：

代碼：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std; int const MAXN=10010; int x,y; int k;//k組同余方程
int a[MAXN];//每個同余方程的余數
int b[MAXN];//每個同余方程的模數
int ans; int lcm=1; void exgcd(int a,int b) { if(b==0){x=1;y=0;} else{ exgcd(b,a%b); int tmp=x; x=y; y=tmp-a/b*y; } return; } int main() { cin>>k; for(int i=1;i<=k;++i) cin>>b[i]>>a[i]; for(int i=1;i<=k;++i) lcm*=b[i]; for(int i=1;i<=k;++i) { exgcd(lcm/b[i],b[i]); x=(x%b[i]+b[i])%b[i]; ans=(ans+(lcm/b[i])*x*a[i])%lcm; } cout<<ans; }