中國剩余定理（孫子定理）

　　中國剩余定理，也叫孫子定理，是數論中的又一個重要定理，那么它是干什么用的呢？簡單來說，這是一個用來求一元線性同余方程組的定理。叫做孫子定理的原因就是該定理最早可見於南北朝時期的著作《孫子算經》卷下第二十六題，叫做“物不知數”問題，原文如下：

　　有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二。問物幾何？

　　翻譯一下，就是說，一個數除以三余二，除以五余三，除以七余二，求這個整數。

　　接下來，我們把這一道題作為例題，探究一下如何利用孫子定理搞定同余方程組

例1：

　　求解一元線性同余方程組：

　　　　　　　　　　　　　　x ≡ 2 ( mod 3 )

　　　　　　　　　　　　　　x ≡ 3 ( mod 5 )

　　　　　　　　　　　　　　x ≡ 2 ( mod 7 )

　　解：

　　　　做題依據：

　　　　當p₁ , p₂ , ……互質的時候，有 x ≡ （a₁ q₁ q_1^-1 + a₂ q₂ q_2^-1 +……）mod P

　　　　其中P = p₁ p_2……， q_i = p / p_{i ，}q_i^-1 為 q_i 在模p_{i 意義下的逆元}

　　　　對於這道題，x ≡ （2 * 35 * 2 + 3 * 21 * 1+ 2 * 15 * 1）mod 105 = 23

例2：

　　求解一元線性同余方程組：

　　　　　　　　　　　　　　x ≡ 3（mod 12）

　　　　　　　　　　　　　　x ≡ 2（mod 18）

　　解：

　　　　做題依據

　　　　當p不互質時，有x ≡ a₁ ( mod p₁ ) = = > x = a₁ + p₁ b_1,  x ≡ a₂ ( mod p₂ ) = = > x = a₂ + p₂ b₂

　　　　所以p₁ b₁ - p₂ b₂ = a₂ - a₁

　　　　用擴展歐幾里得得解

　　　　因此不斷合並方程即可

 

代碼實現參考拓展歐幾里得算法https://www.cnblogs.com/juruohqk/p/10544298.html

2019-04-09 11:39:10