這里寫的只是最常見最普通的 Tauber 定理，寫這個純粹是因為常庚哲，史濟懷書上的那個證明（定理 10.17）太不符合審美了。
（Tauber）若 $\lim_{r \to 1^{-}} \sum c_n r^n = \sigma$ 且 $c_n = o(\frac{1}{n}) \,, $ 則 $\sum c_n = \sigma \,.$
分析：想法就是令 $r = 1 - \frac{1}{N} \,.$ 作估計 \[ \left| \sum_{n=1}^N c_n - \sum_{n=1}^N c_n r^n \right| \leq \sum_{n=1}^N |c_n| (1- (1-\frac{1}{N})^n) \leq \sum_{n=1}^N |c_n| \frac{n}{N} \,, \] 以及 \[ \left|\sum_{n=1}^{\infty} c_n r^n - \sum_{n=1}^N c_n r^n \right| \leq \sum_{n>N} |c_n| (1-\frac{1}{N})^n \leq \sum_{n>N} \frac{n c_n}{N} (1-\frac{1}{N})^n \leq \sum_{n>N} \frac{\epsilon}{N} (1-\frac{1}{N})^n = \epsilon (1-\frac{1}{N})^{N+1} \,. \] 由 $n c_n \to 0$ 不難得知其前 $N$ 項和的算術平均也趨於零，而 $(1-\frac{1}{N})^{N+1} \to e^{-1} \,.$ 綜合這兩個估計，命題得證。