Binet-Cauchy定理的證明

若無特殊說明，本文中提到的排列指的是1~n的全排列

先定義一些東西：

1. 若\(P_i\)為一個排列，那么定義\(RP_i\)為它的逆排列，即\(RP_{P_i}=i\)；
2. 定義\(\lambda(P_i)\)為\(P_i\)的逆序對數；
3. 若\(P_i,Q_i\)是兩個排列，那么定義它們的復合排列為 \(P_{Q_i}\) ，即復合排列的第i個位置上的數是\(P_{Q_i}\) 。（注意\(P_{Q_i}\)與\(Q_{P_i}\)是不同的）

性質1：\(\lambda(P_i)=\lambda(RP_i)\)

性質2： \(\lambda(P_{Q_i})\)與\(\lambda(P_i)+\lambda(Q_i)\)的奇偶性相同

以上兩點感性理解吧，這里就不證了。

 

Binet-Cauchy定理：

\[det(C)=\sum_{S}det(A_S)*det(B_S) \]

其中\(A\)是一個m×n的矩陣，\(B\)是一個n×m的矩陣，\(C\)是一個n×n的矩陣，滿足\(C=B*A\)

\(S\)是集合\(\{1,2,...,m\}\)的一個大小為n的子集，\(A_S\)表示由\(A\)保留\(S\)中的行得到的n×n的矩陣，\(B_S\)表示由\(B\)保留\(S\)中的列得到的矩陣。

我們下面就來證明這個定理：

P,Q是長度為n的排列

等式左邊等於

\[\sum_{S}(\sum_{P}(-1)^{\lambda(P)}\prod{A_{S_i,P_i}})(\sum_{Q}(-1)^{\lambda(Q)}\prod{B_{i,S_{Q_i}}}) \]

簡單變換得到：

\[\sum_{S}\sum_{P}\sum_{Q}(-1)^{\lambda(P)+\lambda(Q)}\prod{A_{S_i,P_i}B_{Q_i,S_i}} \]

注意B下標中\(i\)和\(Q_i\)互換了位置，可以證明這樣是正確的。
 

等式右邊：

\[det(C)=\sum_{P}(-1)^{\lambda(P)}\prod C_{i,P_i} \]

又因為\(C_{i,j}=\sum_{k=1}^m B_{ik}A_{kj}\)

所以\(det(C)=\sum_{P}(-1)^{\lambda(P)}\prod(\sum_{k=1}^m B_{i,k}A_{k,P_i})\)

將連乘拆開，設\(R\)是一個從1~m中選n個數的可重排列，那么上式等於

\[\sum_{P}(-1)^{\lambda(P)}\sum_{R}\prod B_{i,R_i}B_{R_i,P_i} \]

\[\sum_{R}\sum_{P}(-1)^{\lambda(P)}\prod B_{i,R_i}A_{R_i,P_i} \]

又因為如果R中存在兩個不同的i,j使得\(R_i=R_j\)，那么將\(P\)中\(P_i\)和\(P_j\)交換得到\(P'\)，在第二個求和符枚舉到\(P\)和\(P'\)時后面式子的值會發生抵消（因為\((-1)^{\lambda(P)}\)與\((-1)^{\lambda(P')}\)互為相反數），所以我們可以把R看成一個無重排列，再將R的枚舉方式變為先枚舉一個大小為n的集合\(S\)，再枚舉這個集合的排列\(Q\)，上式就變成了：

\[\sum_{S}\sum_{Q}\sum_{P}(-1)^{\lambda(P)}\prod B_{i,S_{Q_i}}A_{S_{Q_i},P_i} \]

\[\sum_{S}\sum_{Q}\sum_{P}(-1)^{\lambda(P)}\prod B_{Q_i,S_i}A_{S_{i},P_{Q_i}} \]

將枚舉\(P_i\)變為枚舉\(P'=P_{Q_i}\)，結合之前排列的性質，上式等於

\[\sum_{S}\sum_{Q}\sum_{P'}(-1)^{\lambda(P')+\lambda(Q)}\prod B_{Q_i,S_i}A_{S_{i},P'_{i}} \]

整理得

\[\sum_{S}\sum_{P}\sum_{Q}(-1)^{\lambda(P)+\lambda(Q)}\prod{A_{S_i,P_i}B_{Q_i,S_i}} \]

這樣就和等式右邊一模一樣了，於是定理得證。