歐拉定理及其證明

歐拉定理及其證明[補檔]

一.歐拉定理

背景：首先你要知道什么是歐拉定理以及歐拉函數。

下面給出歐拉定理，對於互質的a,p來說，有如下一條定理

\[a^{\phi(p)}\equiv1(mod\;p) \]

這就是歐拉定理

二.剩余系

定義：對於集合\(\{k*m+a|k\in \mathbb{Z},0<=a<m\}\),我們將它稱之為一個模m的同余類記為\(\overline{a}\)

那么很顯然的，這樣的同余類有m個，他們構成m的完全剩余系。

對於m來說，與m互質的數有\(\phi(m)\)個，那么這\(\phi(m)\)個數所代表的同余類合稱為m的簡化剩余系。

三.證明歐拉定理

對於數p來說，他有一個簡化剩余系，我們記為\(x_1,x_2...x_{\phi(p)}\),對於任意一個\(x_i*a\)因為\(x_i,a\)都與p互質，所以它們的乘積必然在簡化剩余系中。

很顯然的，對於任意的\(x_i,x_j\)來說

\[a*x_i\not \equiv a*x_j(mod\;p) \]

(畢竟左右兩邊一個質因子都沒有呢)

有了上面的條件，我們可以得出這個結論

\[x_1*a*x_2*a*...x_{\phi(p)}*a為x_1,x_2...x_{\phi(p)}的一個排列 \]

則

\[\because x_1*x_2*...*x_{\phi(p)}\equiv x_1*a*x_2*a*...x_{\phi(p)}*a\\ \therefore 1\equiv a^{\phi(p)} \]

證畢。