（所有^為次方）
歐拉定理：
a^phi(m)=1 (mod m) ( gcd(a,m)=1 )
設1到m中與m互質的數為
x1, x2, x3, ……x phi(m)
令pi=xi*a
引理一：p之間兩兩模m不同余，x之間兩兩模m不同於
x兩兩模m不同樣因為都小於等於m，一眼看出
反證：若pi-pj=0（mod m）（i≠j） ，則a（xi – xj）=0 （mod m）
gcd（a，m）=1，則 xi – xj = 0 （mod m），矛盾
所以p之間兩兩模m不同余
引理二：每個p模m的結果與m互質
反證：若a*xi = km + r ,gcd(r,m)>1
則 a*xi – km = r 根據擴展歐幾里得，gcd（a，m）=1
則最后解出來的x要乘上r，與gcd（x，m）互質矛盾
所以每個p模m的結果與m互質
由這兩個引理
∏pi = xi （mod m） -> ( a^phi(m) )*∏xi = ∏xi (mod m)
gcd( ∏xi, m ) = 1 -> a^phi(m) = 1 ( mod m )
擴展歐拉定理：
a^c = { a^( c%phi(m) ) , gcd( a,m) =1
a^c , gcd( a,m )≠1，c<phi(m)
a^( c%phi(m) + phi(m) ), gcd( a,m )≠1, c>=phi(m)
}
1. a^c=a^( c%phi(m) ) , gcd( a,m) =1
這個由歐拉定理可知，在mod m 意義下，
a^phi(m)=1, a^0 =1 -> a^x 以phi(m)為循環節
2. a^c=a^c , gcd( a,m )≠1，c<phi(m)
不用證
3. a^c=a^( c%phi(m) + phi(m) ), gcd( a,m )≠1, c>=phi(m)
首先證明對m的一個質數因子p
有p^c = p^( c%phi(m) +phi(m) ) (mod m) , c>phi(m)
令 m= s * p^r , gcd(s,p)=1
有p^phi(s) = 1 (mod s) ,又gcd(s,p) =1
則phi(m) = phi(s) * phi(p^r) -> phi(s) | phi(m)
則p^phi(m) =1 (mod s) -> p^phi(m) = k*s +1;
兩邊同乘p^r, p^( phi(m) +r ) = k*m + p^r
即p^( phi(m) + r ) = p^r (mod m ) -> p^r = p^( k*phi(m) +r ) ( mod m ) (k>=0)
顯然有 phi(m) = phi(s)* phi(p^r) >= phi(p^r) = (p^(r-1) )*(p-1)>=p^(r-1) >= r
所以有 p^c = p ^( c-r + r) = p^(c-r + r+phi(m) ) =p^( c+phi(m) ) , c>=r
則 p^c = p^(c%phi(m) + phi(m) ) ( mod m ) , c>=phi(m)
則對於p的冪也一樣有
(p^k)^c = p^(k*c) = p^(phi(m) +k*c ) = p^(k*phi(m) + k*c) = (p^k)^( c+phi(m) )
= ( p^k )^(c%phi(m) + phi(m) ) (mod m) , c>=phi(m), k>0
令a=∏pi^ki，則對於每一個pi^ki 都滿足上述式子，則相乘后
有 a^c = a^( c%phi(m) + phi(m) ) (mod m), c>=phi(m)
證畢
基本上是看https://blog.csdn.net/hzj1054689699/article/details/80693756 這個blog的，加了中間的一些解釋和過程