歐拉函數
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定義
歐拉函數是 小於等於 x的數中與x 互質 的數的 數目
符號\(\varphi(x)\)
互質 兩個互質的數的最大公因數等於1,1與任何數互質 -
通式
\(\varphi(x)=x\prod_{i=1}^n(1-\frac{1}{p_i})\)
其中\(p_i\)為\(x\)的質因子,\(n\)為\(x\)的質因子個數
歐拉函數常用性質
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若\(n\)為質數，顯然\(\varphi(n)=n-1\)
\(\begin{aligned}\end{aligned}\) -
歐拉函數是積性函數
積性函數: 對於任意 互質 的整數\(a\)和\(b\)有性質\(f(ab)=f(a)·f(b)\)的數論函數。
若\(m,n\)互質，\(\varphi(mn)=\varphi(m)·\varphi(n)\)
\(\begin{aligned}\end{aligned}\) -
如果\(x=2n\)(\(n\)為奇數)，\(\varphi(x)=\varphi(n)\) 即\(\varphi(2n)=\varphi(n)\)(\(n\)為奇數)
n為奇數時,n與2互質，\(\varphi(2)=1\)
\(\begin{aligned}\end{aligned}\) -
若\(p\)為質數,則\(\varphi(p^k)=p^k-p^{k-1}\)
因為與\(p^k\)不互質的只有\(p\)的倍數，而\(p^k\)中\(p\)的倍數有\(p^{k-1}\)個
\(\begin{aligned}\end{aligned}\) -
當\(x>2\)時，\(\varphi(x)\)為偶數
這一點需要了解更相減損術 即\(gcd(n,x)=gcd(n,n-x)\)
由該公式我們可以知道，所有與\(n\)互質的數都是成對出現的
\(\begin{aligned}\end{aligned}\) -
小於n的數中，與n互質的數的總和為\(\varphi(n)*n/2\ \ (n>1)\)
由上面的證明(更相減損術)我們知道，每一對與\(n\)互質的數的和為\(n\)，共有\(\varphi(n)/2\)對
\(\begin{aligned}\end{aligned}\) -
\(n=\sum_{d|n}\varphi(d)\)即\(n\)的因數\((\)包括\(1\)和它自己\()\)的歐拉函數之和等於\(n\)
這條性質的運用又叫 歐拉反演
定義函數
\(\begin{aligned}f(n)=\sum_{d|n}\varphi(d)\end{aligned}\)- \(f(n)\)為積性函數
\(\begin{aligned}f(n)·f(m)=\sum_{i|n}\varphi(i)\sum_{j|m}\varphi(j)=\sum_{i|n}\sum_{j|m}\varphi(i)·\varphi(j)=\sum_{i|n}\sum_{j|m}\varphi(i·j)=\sum_{d|nm}\varphi(d)=f(nm)\end{aligned}\)
\(f(p^k)=\varphi(1)+\varphi(p)+\varphi(p^2)+\cdots+\varphi(p^k)=1+(p-1)+(p^2-p)+\cdots+(p^k-p^{k-1})=p^k\)
\(n=p_1^{k_1} ·p_2^{k_2}· \cdots·p_m^{k_m}\)
\(f(n)=f(p_1^{k_1})·f(p_2^{k_2})·\cdots·f(p_m^{k_m})=p_1^{k_1} ·p_2^{k_2}· \cdots·p_m^{k_m}=n\)
\(\begin{aligned}\end{aligned}\) - \(f(n)\)為積性函數
歐拉定理
若\(a,m\)互質，\(a^{\varphi(m)}≡1(mod\ m)\)
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證明
- 剩余系 指對於某一個特定的正整數\(n\)，一個整數集中的數\(mod\ n\)所得的余數域。
- 完全剩余系 設\(m\in Z+\)，若\(r_0,r_1,...r_{m−1}\)為\(m\)個整數，並且兩兩模\(m\)不同余，則\(r_0,r_1,...r_{m−1}\)叫作模\(m\)的一個完全剩余系。
- 縮系 設\(A\)是\(mod\ n\)的剩余系，若任意\(A\)中兩個元素相乘\(mod\ n\)后仍為\(A\)中的元素,則稱\(A\)為\(mod\ n\)的縮系
- 若\(a,m\)互質，則\(m\)的一個縮系為
\(\{x_1,x_2,x_3...x_{\varphi(m)}\}\)
\(\{ax_1\%m,ax_2\%m,ax_3\%m...ax_{\varphi(m)}\%m\}\)也是\(mod\ m\)的縮系
於是可以得到
\(\sum_{i=1}^{\varphi(m)}ax_i\equiv \sum_{i=1}^{\varphi(m)}x_i\ (mod\ m)\)
\(a^{\varphi(m)}\sum_{i=1}^{\varphi(m)}x_i\equiv \sum_{i=1}^{\varphi(m)}x_i\ (mod\ m)\)
\(a^{\varphi(m)}\equiv 1\ (mod\ m)\)- 而當\(m\)為質數時，\(\varphi(m)=m-1\)
\(a^{(m-1)}≡1(mod\ m)\)
這就是我們熟知的 費馬小定理
- 而當\(m\)為質數時，\(\varphi(m)=m-1\)
- 剩余系 指對於某一個特定的正整數\(n\)，一個整數集中的數\(mod\ n\)所得的余數域。
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變式 \(a,m\)互質\(a^b≡a^{b\%\varphi(m)}(mod\ m)\)
擴展歐拉定理
若\(b>\varphi(m)\) 即使\(a,m\)不互質，\(a^b≡a^{b \%\varphi(m)+\varphi(m)}\left(mod\ m\right)\)
- 證明
從\(m\)中提一個質因子\(p\)出來 令\(m=p^k·s\)
有\(gcd(p^k,s)=1\)，即\(p^k,s\)互質
根據歐拉定理，我們知道\(p^{\varphi(s)}≡1(mod\ s)\)
根據歐拉函數是積性函數，我們知道\(\varphi(s)|\varphi(m)\)所以有\(p^{\varphi(m)}≡p^{\varphi(s)}(mod\ s)\)
設\(p^{\varphi(s)}=xs+1\)
那么\(p^{\varphi(s)+k}=xm+p^k\)
所以\(p^{\varphi(s)+k}≡p^k (mod\ m)\)，也有\(p^{\varphi(m)+k}≡p^k (mod\ m)\)
當\(b>=k\)時，\(p^b≡p^{b-k}·p^k≡p^{b-k}·p^{\varphi(s)+k}≡p^{b+\varphi(m)}(mod\ m)\)
又因為\(k<=\varphi(p^k)<=\varphi(m)\)，所以當\(b>=2\varphi(m)\)時，滿足\(p^b≡p^{b-\varphi(m)}(mod\ m)\)
注意是\(2\varphi(m)\)!
所以可以得到\(p^b≡p^{b\%\varphi(m)+\varphi(m)}(mod\ m)\)
因此我們可以得到對任意質數\(p\)都有\(b>=2\varphi(m),p^b≡p^{b\%\varphi(m)+\varphi(m)}(mod\ m)\)
非\(m\)質因子的\(p\)，有歐拉定理
將\(a\)因式分解，可以得到
\(a^b≡a^{b\%\varphi(m)+\varphi(m)}(mod\ m)\)- 注意 \(b<\varphi(m)\)時，公式不一定成立
線性篩法
類似與篩素數，我們在這里利用歐拉函數是積性函數這個性質來篩\(\varphi\)
\(\mathcal{Code}\)
int cnt;
int prime[maxn],phi[maxn];
bool vis[maxn];
void Euler_sieve (int n)
{
phi[1]=1;
for (int i=2;i<=n;++i){
if (!vis[i]) prime[++cnt]=i,phi[i]=i-1;
for (int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=n;++j){
vis[i*prime[j]]=true;
if (i%prime[j]==0){ phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];break;}
phi[i*prime[j]]=phi[i]*phi[prime[j]];
}
}
}
歐拉反演
利用歐拉函數的一條性質
\(\begin{aligned}n=\sum_{d|n}\varphi(d)\end{aligned}\)
(上面有證明)
我們試着把\(n\)換成其他東西試試
\(\begin{aligned}gcd(i,j)=\sum_{d|gcd(i,j)}\varphi(d)=\sum_{d|i}\sum_{d|j}\varphi(d)\end{aligned}\)
讓我們求個東西試試
\(\begin{aligned}\sum_{i=1}^ngcd(i,n)=\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}\sum_{d|n}\varphi(d)=\sum_{d|n}\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}\varphi(d)=\sum_{d|n}\frac{n}{d}\varphi(d)\end{aligned}\)
把它重寫一遍作為結論
\(\begin{aligned}\sum_{i=1}^ngcd(i,n)=\sum_{d|n}\frac{n}{d}\varphi(d)\end{aligned}\)
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