歐拉函數
\(\varphi(n) \ or \ \phi(n)\)
表示小於n的正整數與n互質的數的個數.
性質:
當n為質數時 \(\varphi(n)=n-1\)
當n為奇數時 \(\varphi(2n) = \varphi(n)\)
證明：
\(\because\)歐拉函數為積性函數.
\(\therefore \varphi(2n) = \varphi(2) \ast \varphi(n)\)
\(\because \varphi(2)=1\)
\(\therefore \varphi(2n) = \varphi(n)\)
歐拉函數是一個積性函數
若\(gcd(a, b) = 1\) 則 \(\varphi (a \ b) = \varphi(a) \ \varphi(b)\)
歐拉函數的積性證明.
條件是m與n互質
可以得到\(\phi(m \ n) = \phi(m) \ast \phi(n)\)
證明：
\(m = p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_k^{a_k}\)
\(\phi (m) = m(1- \frac {1}{p_1})(1- \frac {1}{p_2})...(1- \frac {1}{p_k})\)
\(n = p_1'^{a_1'}p_2'^{a_2'}...p_k'^{a_k'}\)
\(\phi(n) = n(1- \frac {1}{p_1'})(1- \frac {1}{p_2'})...(1- \frac {1}{p_k'})\)
\(\because m與n互質\)
\(\therefore p_1,p_2...p_k與p_1'p_2'...p_k'\)兩兩互不相同
\(\therefore \phi(mn) = mn(1- \frac {1}{p_1})(1- \frac {1}{p_2})...(1- \frac {1}{p_k})(1- \frac {1}{p_1'})(1- \frac {1}{p_2'})...(1- \frac {1}{p_k'})\)
\(\therefore \phi(mn) = \phi(m) \ast \phi(n)\)
歐拉函數通項公式
\(\varphi (n)= n (1 - \frac {1} {p_1})(1 - \frac {1} {p_2})(1 - \frac {1} {p_3})...(1 - \frac {1} {p_k})\)
證明：
若\(n = p ^ k ,p\)為質數,則\(\varphi (p^k) = p ^k - p ^{k - 1}\)
當一個數不包含質因子\(p\)時就能與\(n\)互質，
小於等於\(n\)的數中包含質因子\(p\)的只有\(p^{k-1}\) 個，他們是:
\(p, 2*p, 3* p, ...,p ^{k - 1} ∗p\)，把他們去除即可.
由唯一分解定理可得: \(n = p_1 ^{a_1} p_2 ^{a_2}p_3 ^{a_3}...p_k ^{a_k}\)
則 \(\varphi (n) = \varphi(p_1^{a_1})\varphi(p_2^{a_2})\varphi(p_3^{a_3})...\varphi(p_k^{a_k})\)
根據上述\(\varphi (p^k) = p ^k - p ^{k - 1}\)可得:
\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \varphi (p) = p^k(1 - \frac{1}{p^k}\))
則 \(\varphi (n) = \varphi(p_1^{a_1})\varphi(p_2^{a_2})\varphi(p_3^{a_3})...\varphi(p_k^{a_k})\)可化為
\(\ \ \ \ \varphi (n) = p_1 ^{a_1}(1 - \frac {1} {p_1}) p_2 ^{a_2}(1 - \frac {1} {p_2})p_3 ^{a_3}(1 - \frac {1} {p_3})...p_k ^{a_k}(1 - \frac {1} {p_k})\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = n (1 - \frac {1} {p_1})(1 - \frac {1} {p_2})(1 - \frac {1} {p_3})...(1 - \frac {1} {p_k})\)
歐拉定理:
當\(a\) 與 \(p\)互質的時候則有 \(a^{\varphi(p)} \equiv 1 \ (mod \ p)\)
證明
設A= \(\{x_1, x_2,x_3...x_{\phi(n)}\}\)為1—n中與n互質的數的集合.
則他們模n兩兩不相同，且余數與n互質
下面我們來證明B=\(\{ax_1, ax_2,ax_3...ax_{\phi(n)}\}\)也有這個性質
mod n 兩兩互不相同 （反證法）：
假設\(i != j\), \(x_i, x_j \in B\)那么就有\(ax_i \equiv ax_j (mod \ n)\)
那么就有\(ax_I - ax_J \equiv 0 (mod \ n)\)
因為\(x_i - x_J\) 與n互質，所以不會有這樣的解，得證。
余數都與\(n\)互質：因為\(a\)與\(n\)互質，\(x_i\)與\(n\)互質，
所以\(ax_i\)也與\(n\)互質，\(ax_i\)模\(n\)后也與\(n\)互質。
\(\displaystyle \prod_{i = 1}^{\varphi(n)}ax_i \equiv \prod_{i=1}^{\varphi(n)}x_i (mod \ n)\)
\(\displaystyle a^{\varphi(n)} \prod_{i = 1}^{\varphi(n)}x_i \equiv \prod_{i=1}^{\varphi(n)}x_i (mod \ n)\)
\(\therefore a^{\varphi(n)} \equiv 0 (mod \ n)\)
特別的，當n為質數的時候\(\varphi(n) = n - 1\)
那么式子就變成了\(a^{n-1} \equiv 0 (mod \ n)\)
這就是費馬小定理，可以用來求逆元.
歐拉定理的應用
求 \(a^b \ mod \ m\) 時，用歐拉定理縮小指數\(b\)
例題：求 \(7^{222} \ mod \ 10\)
分析：\(gcd(7,10) = 1\), 故 \(7^{φ(10)} = 7^5 ≡ 1 \ (mod \ 10)\)
所以 \(7^{222} ≡ 7^{222 \ mod \ 5} = 7^2 = 49 ≡ 9 \ (mod \ 10)\)
即 \(7^{222} \ mod \ 10 = 9\)
歐拉定理的拓展
定理：\(a^{2φ(n)} ≡ a^{φ(n)} \ (mod \ n)\)
首先我們提出一個引理：
引理一：設 \(p\) 為 \(n\) 的一個質因子，\(k\) 為 \(p\) 的次數；
則有 \(φ(n) ≥ k\) 成立。
引理的證明：
設 \(n = p^k ·t\)；則 \(φ(n) = φ(p^k ) \ φ(t) ≥ φ(p^k ) ≥ k\)
證明：
設 \(n = n_1 n_2\) , 其中 \(n_1 = (a^∞ ,n)\)
則有 \((a,n_2 ) = (n_1 ,n_2 ) = 1\)
由引理一可得 \(n_1 \mid a^{φ(n)}\) ，
因此 \(a^{φ(n)} ≡ a^{2φ(n)} ≡ 0 \ (mod \ n_1 )...(1)\)
又由\((n_1 ,n_2 ) = 1\) 得 \(φ(n) = φ(n_1 )φ(n_2 )\),
由歐拉定理 \(a^{φ(n)} ≡ a^{2φ(n)} ≡ 1 \ (mod \ n_2 )...(2)\)
中國剩余定理合並 \(1 \ 2\) 兩式得證。
推論：當 \(b ≥ φ(n)\) 時，\(a^b ≡ a^{b \ mod \ φ(n)+φ(n)} \ (mod \ n)\)