歐拉函數

歐拉函數

在數論，對正整數n，歐拉函數是小於n的正整數中與n互質的數的數目（φ(1)=1）。

其中p1, p2……pn為x的所有質因數，x是不為0的整數

 

分解n=p₁^q1 * p₂^q2 * p₃^q3 * ……* p_k^qk

φ（n）= n*(1 - 1/p₁) *(1 - 1/p₂) *(1 - 1/p₃)*……. *(1 - 1/p_k)

            = p₁^q1 * (1 - 1/p₁) * p₂^q2 * (1 - 1/p₂) * p₃^q3 * (1 - 1/p₃) *…..* p_k^qk * (1 - 1/p_k)

            = p₁^q1 * ( (p₁ – 1)/p₁ ) * p₂^q2 * ( (p₂ – 1)/p₂ ) * p₃^q3 * ( (p₃- 1)/p₃ ) *…..* p_k^qk * ( (p_k – 1)/p_k )

            = p₁^q1-1 * (p₁ – 1) * p₂^q2-1 * (p₂ – 1) * p₃^q3-1 * (p₃- 1) *…..* p_k^qk-1 * (p_k – 1)

 

那么對於一個素數，顯然 φ（p）= p-1 

 

 

 

 

代碼實現利用到了線性篩唉

g[n]表示n的因子個數

求一個數約數的個數，假設把它分解完了，那么g[i]=(1+q₁)(1+q₂)….(1+q_n)

其實就是乘法原理啊，對於每個因子都可以選指數為0次，1次…q₁次，一共（q1+1）種情況

 

phi[ ]是歐拉函數，歐拉函數是積性函數

證明： 假設n,m互質，那么他們一定沒有相同的質因子

那么n=p₁^q1 * p₂^q2 * p₃^q3 * ……* p_k^qk

m=t₁^l1 * t₂^l2 * t₃^l3 * ……* t_k^lk 

假設k=n*m

那么顯然φ（k）=φ（n）*φ（m）

/*歐拉篩

篩數 i 
選取一個素數 p
把 p * i 篩掉
此時會檢查 i 的最小素因子是否是p
所以有兩種可能：
1、i 和 p 互素
    phi[i * p] = phi[i] * phi[p]
2、i 的最小素因子剛好是 p 
    phi[i * p] = phi[i] * p
*/


bool notprime[]
int tot, prime[], e[];
int phi[];// phi 是歐拉函數
int g[]; // g[n]表示n的因子個數
int f[]; // f[n]表示n的最小素因子的次數
         //    f[12] = 2;
         // f[81] = 4;
void sieve(int n) {
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (!notprime[i]) {
            prime[tot++] = i;
            e[i] = i;
            phi[i] = i - 1;
            g[i] = 2;
            f[i] = 1;
        }
        for (int j = 0; j < tot && (k = prime[j] * i) < n; j++) {
            e[k] = prime[j];
            notprime[k] = true;
            if (e[i] == prime[j]) {
                phi[k] = phi[i] * prime[j];  //i和prime[j]不互質 
                f[k] = f[i] + 1;
                g[k] = g[i] / (f[i] + 1) * (f[k] + 1);
                break;
            }
            else {
                phi[k] = phi[i] * phi[prime[j]]; //i和prime[j]互質 
                g[k] = g[i] * g[prime[j]];
                f[k] = 1;
            }
        }
    }
}

 

 

歐拉定理