歐拉函數

什么是歐拉函數

歐拉函數是小於x的整數中與x互質的數的個數，特殊的 φ(1) = 1.

如何計算歐拉函數

 

其中p1,p2,.....pn為x的所有質因數，x是正整數。

 

歐拉函數的幾個性質

1、對於質數p φ(p)=p-1.

2、若p為質數，n = p^k,則 φ(n) = p^k - p^k-1

3、歐拉函數是積性函數，但不是完全積性函數（不互質也滿足等式）。若m，n互質，則φ（m*n）=φ(m)*φ(n).

4、當n>2時，φ（n）* n / 2 （n > 1）.

5、小於n且與n互質的數的總和為：φ（n）* n / 2 （n > 1）.

6.n =  ∑_d∣n φ（d），即n的因數（包括1和它自己）的歐拉函數之和等於n

 

求歐拉函數

 1、求單個歐拉函數

int euler(int n)
{
    int ans = n ;
    for(int i = 2 ; i * i <= n ; i++)
    {
        if(n % i == 0)
        {
            ans -= ans / i ; // 跟據歐拉函數的通項公式展開一步一步算
            while(n % i == 0)//確保i為n的質因數
            {
                n /= i ;
            }
        }
    }
    if(n > 1) ans -= ans/n ;//最后可能還剩下一個質因數沒有除，例如10的歐拉函數
    return ans ;
}

 

2、埃拉托斯特尼篩求歐拉函數

 

void euler(int n)//求1-n的歐拉函數
{
    for(int i = 2 ; i <= n ; i++) phi[i] = i ;
    for(int i = 2 ; i*i <= n ; i++)
    {
        if(phi[i] == i) // 表示i為質數
        {
            for(int j = i ; j <= n ; j += i)
            {
                phi[j] = phi[j] / i * （i-1） ;//將i的倍數更新
            }
        }
    }
}

 

   歐拉篩求歐拉函數

 

void euler(int n)//求1-n的歐拉函數
{
    memset(vis , true , sizeof(vis));
    int cnt = 0 ;
    for(int i = 2 ; i <= n ; i++)
    {
        if(vis[i])
        {
            prime[cnt++] = i ;
            phi[i] = i - 1 ;
        }
        for(int j = 0 ; j < cnt && prime[j] * i <= n ; j++)
        {
            vis[i*prime[j]] = 0 ;
            if(i % prime[j] == 0)//保證每一個數都被它最小質因數篩去
            {
                phi[i*prime[j]] = phi[i] * prime[j] ;
                break ;
            }
            else{
                phi[i*prime[j]] = phi[i] * phi[prime[j]];//i與prime[j]互質可以根據歐拉函數的積性函數性質求
            }
        }
    }
}

 

參考博客https://blog.csdn.net/liuzibujian/article/details/81086324