歐拉函數值求解

歐拉函數簡介：

歐拉函數只是工具：提供1到N中與N互質的數

 

定義和簡單性質

歐拉函數在OI中是個非常重要的東西,不知道的話會吃大虧的.

歐拉函數用希臘字母φ表示,φ(N)表示N的歐拉函數.

對φ(N)的值,我們可以通俗地理解為小於N且與N互質的數的個數(包含1).

歐拉函數的一些性質:

1.對於素數p, φ(p)=p-1，對於對兩個素數p,q φ（pq）=pq-1

歐拉函數是積性函數,但不是完全積性函數.

證明：

函數的積性即：若m,n互質,則φ(mn)=φ(m)φ(n).由“m,n互質”可知m,n無公因數,所以φ(m)φ(n)=m(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)…(1-1/pn)·n(1-1/p1')(1-1/p2')(1-1/p3')…(1-1/pn'),其中p1,p2,p3...pn為m的質因數,p1',p2',p3'...pn'為n的質因數,而m,n無公因數,所以p1,p2,p3...pn,p1',p2',p3'...pn'互不相同,所以p1,p2,p3...pn,p1',p2',p3'...pn'均為mn的質因數且為mn質因數的全集,所以φ(mn)=mn(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)…(1-1/pn)(1-1/p1')(1-1/p2')(1-1/p3')…(1-1/pn'),所以φ(mn)=φ(m)φ(n).

即φ(mn)=φ(n)*φ(m)只在(n,m)=1時成立.

2.對於一個正整數N的素數冪分解N=P1^q1*P2^q2*...*Pn^qn.

   φ(N)=N*(1-1/P1)*(1-1/P2)*...*(1-1/Pn).

3.除了N=2,φ(N)都是偶數.

4.設N為正整數,∑φ(d)=N (d|N).

 

根據性質2,我們可以在O(sqrt(n))的時間內求出一個數的歐拉函數值.

  //直接求解歐拉函數  
  int euler(int n){ //返回euler(n)   
       int res=n,a=n;  
       for(int i=2;i*i<=a;i++){  
           if(a%i==0){  
               res=res/i*(i-1);//先進行除法是為了防止中間數據的溢出   
               while(a%i==0) a/=i;  
           }  
       }  
      if(a>1) res=res/a*(a-1);  
      return res;  
} 

 

如果我們要求1000000以內所有數的歐拉函數,怎么辦.

上面的方法復雜度將高達O(N*sqrt(N)).

 

我們來看看線性篩法的程序:

 它在O(Nlog(m))的時間內遍歷了所有的數,

φ(n)=n*（1-1/p1)(1-1/p2)....(1-1/pk),其中p1、p2…pk為n的所有素因子。
比如：φ(12)=12*(1-1/2)(1-1/3)=4。
利用這個就比較好求了，可以用類似求素數的篩法。
先篩出N以內的所有素數，再以素數篩每個數的φ值。
比如求10以內所有數的φ值：
設一數組phi[11]，賦初值phi[1]=1,phi[2]=2...phi[10]=10；
然后從2開始循環，把2的倍數的φ值*(1-1/2)，則phi[2]=2*1/2=1,phi[4]=4*1/2=2,phi[6]=6*1/2=3....；
再是3，3的倍數的φ值*(1-1/3)，則phi[3]=3*2/3=2,phi[6]=3*2/3=2，phi[9]=.....；
再5，再7...因為對每個素數都進行如此操作，因此任何一個n都得到了φ(n)=n*（1-1/p1)(1-1/p2)....(1-1/pk)的運算
覺得這個“篩”還是比較好用的，以前求數的所有因子之和也是用的它。
代碼如下：

void Init(){     
     euler[1]=1;    
     for(int i=2;i<Max;i++)    
       euler[i]=i;    
     for(int i=2;i<Max;i++)    
        if(euler[i]==i)    
           for(int j=i;j<Max;j+=i)    
              euler[j]=euler[j]/i*(i-1);//先進行除法是為了防止中間數據的溢出 
}    

在線性素數篩法的基礎上，我們是不是能在篩素數的同時求出所有數的歐拉函數呢.

答案是可以.

 phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];//此時i%prime[j]==0說明prime[j]是i的一個素因子當然也是i*prime[j]的一個素因子，那么phi[i*prime[j]]=(i*prime[j])*(1-1/p1)*(1-1/p2)....*(1-1/prime[j])....
又phi[i]=i*(1-1/p1)*(1-1/p2)....*(1-1/prime[j])....

phi[i*prime[j]]=phi[i]*phi[prime[j]];//如前文的奇性性質證明

void PHI()  //即可以求出素數，還可以求出歐拉函數的值！ 模板。
{
    int cnt=0;
    for(int i=2;i<M;i++){
    if(vis[i]==0){
        prime[cnt++]=i;
        phi[i]=i-1;     //i如果是素數，那么前面i-1個都與它互質。
    }
     for(int j=0;j<cnt&&prime[j]*i<M;j++){
       vis[i*prime[j]]=1;
       if(i%prime[j]==0){
            phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
            break;//防止重復計算，線性的根本
       }
       else phi[i*prime[j]]=phi[i]*phi[prime[j]];
     }
    }
}