歐拉函數及其性質

1. 歐拉函數定義

歐拉函數φ(n)表示的是小於等於n且和n互質的正整數的個數。（易知φ(1) = 1）

 

2. 歐拉函數公式

對於任意整數n，若其質因數分解結果為n = p₁^k₁ p₂^k₁ ... p_n^k_n ，則歐拉函數公式為

φ(n) = n(1-1/p₁)(1-1/p₂)...(1-1/p_n)

 

3. 歐拉函數性質

 （1）歐拉函數為積性函數。（對於數論函數 f(n) 不恆等於0，當 (m,n) = 1 時，滿足 f(mn) = f(m)f(n) ，則稱 f(n) 為積性函數）

φ(mn) = φ(m)φ(n)，(m,n) = 1

 （2）若 (m,n) = d，則

φ(mn) = dφ(m)φ(n)/φ(d)

 （3）若m、n滿足m|n，則

φ(mn) = mφ(n)

 （4）若m、n滿足m|n，則

φ(m)|φ(n)

 （5）對於質數p，其歐拉函數公式為

φ(p) = p-1

 （6）對於質數p，p^k的歐拉函數公式為

φ(p^k) = (p-1)p^k-1

 （7）小於等於n且整除n的所有正整數的歐拉函數值之和等於n，即

n = Σ_d|nφ(d)

 （8）歐拉定理：若(a,m) = 1，則 a^φ(m) ≡ 1 (mod m)。

 （9）擴展歐拉定理

a^x ≡ a^{x mod φ(m)} (mod m)，(a,m) = 1

或 a^x ≡ a^x  (mod m)，(a,m) ≠ 1且x < φ(m)

或 a^x ≡ a^{x mod φ(m) + φ(m)} (mod m)，(a,m) ≠ 1且x ≥ φ(m)