Note
這篇文章涉及幾個歐拉函數的性質
暫時沒有證明，大概寒假的時候會補一下證明
完結撒花！我居然在寒假第一天就把這證明補完了...
如果下方的證明有哪里有問題的話，請在下方評論區指出，以提醒作者修改。
定義
\(\phi(n)\)表示在1~n中與n互質的數
計算式及計算方法
\[\begin{aligned} &若n根據算術基本定理分解為n=p_1^{c_1}p_2^{c_2}...p_m^{c_m}\\ &則\phi(n)=n\prod_{i=1}^{m}\left(1-\frac{1}{p}\right)\\ &也可以變式為\phi(n)=n\prod_{i=1}^m\left(\frac{p-1}{p}\right)\\ &本質是一樣的 \end{aligned} \]
\(upd\)：\(O(\frac{\sqrt{n}}{\log n})\)計算一個數的歐拉函數
分解質因數，由性質4可以順便算出每個\(\varphi(p^k)\)，然后因為\(\varphi\)是個積性函數，所以直接把每個值相乘即得到該數的\(\varphi\)。
直接分解質因數是\(O(\sqrt{n})\)的，但是只要預處理出根號內的質數就可以\(O(\frac{\sqrt{n}}{\log n})\)計算一個數的歐拉函數了。
性質1
\[\begin{aligned} &\phi是積性函數，但不是完全積性函數\\ &當n,m互質時，滿足:\\ &\phi(nm)=\phi(n)*\phi(m)\\ &那么顯然，當n根據算術基本定理分解為n=p_1^{c_1}p_2^{c_2}...p_m^{c_m}時\\ &\phi(n)=\prod_{i=1}^m{\phi(p_i^{c_i})} \end{aligned} \]
證明：
\[\begin{aligned} &若n與m互質，則n與m沒有相同的質因子\\ &設n的質因子個數為cnt_n,m的質因子個數為cnt_m，則\\ &\phi(n)*\phi(m)\\ &=n*\prod_{i=1}^{cnt_n}(1-p_i)*m*\prod_{i=1}^{cnt_m}(1-p_i)\\ &=n*m*\prod_{i=1}^{cnt_n+cnt_m}(1-p_i)\\ &=\phi(nm) \end{aligned} \]
證畢。
性質2
對於質數\(p\)，它的歐拉函數值\(\phi(p)=p-1\)
證明：
因為\(p\)為質數，所以比它小的數都和它互質，即在1~p中共有p-1個數和它互質。
證畢。
性質3
\[當n為奇數時,\phi(2*n)=\phi(n) \]
證明：
\[\begin{aligned} &當n為奇數時，n與2互質\\ &由歐拉函數是積性函數可知，n與2互質時，\phi(2n)=\phi(2)*\phi(n)\\ &又因為\phi(2)=1\\ &所以\phi(2n)=\phi(n) \end{aligned} \]
證畢。
性質4
\[當n=p^k時，\phi(n)=p^k-p^{k-1} \]
證明：
\[因為n=p^k，所以n只有p一個質因數，則由歐拉函數的計算式可得\\ \phi(n)=p^k*(1-\frac{1}{p})=p^k-p^{k-1} \]
性質5
\[\begin{aligned} &n中與n互質的數的和為\phi(n)/2*n(n>1)\\ &\phi(n)(n>2)為偶數 \end{aligned} \]
證明：
需要知道的一個基本事實是\(gcd(n,x)=gcd(n,n-x)(n>x)\)
關於這個，可以了解一下更相減損術
因為\(gcd(n,x)=gcd(n,n-x)(n>x)\)，所以與n互質的數都是成對出現的
每一對的和都為\(n\)。所以他們的和為\(\phi(n)/2*n\)。
至於\(\phi(n)(n>2)\)為偶數。因為與n互質的數都是成對出現的，所以顯然與n互質的數為偶數，即\(\phi(n)\)為偶數。
證畢。
性質6
\[\begin{aligned} &若p|n且p^2|n，則\phi(n)=\phi(\frac{n}{p})*p\\ &若p|n且p^2\not|\space\space n,則\phi(n)=\phi(\frac{n}{p})*(p-1) \end{aligned} \]
證明：
對於第一點
\[\begin{aligned} &若p|n且p^2|n，則證明n和\frac{n}{p}有相同的質因子，只是p這一項的指數不同\\ &那么我們可以將其按照歐拉函數的計算式展開，並相除，可得：\\ &\frac{n\prod_{i=1}^m(1-\frac{1}{p_i})}{\frac{n}{p}\prod_{i=1}^{m}(1-\frac{1}{p_i})}=\frac{n}{\frac{n}{p}}=p\\ \end{aligned} \]
對於第二點
\[\begin{aligned} &若p|n且p^2\not|\space\space n，則說明p與\frac{n}{p}互質（因為p為素數）\\ &那么根據歐拉函數為積性函數的這個性質即可證得\phi(n)=\phi(\frac{n}{p})*\phi(p)=\phi(\frac{n}{p})*(p-1) \end{aligned} \]
證畢。
這個性質廣泛用於遞推求歐拉函數
性質7
\[\sum_{d|n}\phi(d)=n \]
證明：
\[設f(n)=\sum_{d|n}\phi(d)\\ \]
則f(n)為一個積性函數（當n，m互質時）
證明：
（設n,m互質）
\[\begin{aligned} &f(n)*f(m)\\ &=\sum_{i|n}\phi(i)*\sum_{j|m}\phi(m)\\ &=\sum_{i|n}\sum_{j|m}\phi(i)*\phi(j)\\ &=\sum_{i|n}\sum_{j|m}\phi(i*j)\\ &=\sum_{d|nm}\phi(d)\\ &=f(nm) \end{aligned}\\ \begin{aligned} &可以發現的是\sum_{i|n}\sum_{j|m}\phi(i*j)涵蓋了所有nm的因數的歐拉函數，即為f(n)*f(m)\\ &所以f是一個積性函數 \end{aligned} \]
那么則有
\[\begin{aligned} &若n根據算數基本定理可以分解為p_1^{c_1}p_2^{c_2}...p_k^{c_k}\\ &則由f是一個積性函數可知，f(n)=f(p_1^{c_1})*f(p_2^{c_2})*...*f(p_k^{c_k})\\ &所以f(p^c)=\phi(1)+\phi(p)+\phi(p^2)+...+\phi(p^k)=1+(p-1)+(p^2-p)+...+(p^k-p^{k-1})=p^k\\ &則f(n)=f(p_1^{c_1})*f(p_2^{c_2})*...*f(p_k^{c_k})=p_1^{c_1}*p_2^{c_2}*...*p_k^{c_k}=n\\ &即\sum_{d|n}\phi(d)=n \end{aligned} \]
證畢。
性質8
\[\phi(n)=\sum_{d|n}\frac{\mu(d)}{d} \]
證明
我們將性質7用狄利克雷卷積形式表示出來
\[\begin{aligned} &\phi*1=id\\ &兩邊卷上\mu\\ &\phi*1*\mu=id*\mu\\ &\phi*(1*\mu)=id*\mu\\ &\phi*e=id*\mu \end{aligned} \]
最后一個式子寫出來就是
\[\phi(n)=\sum_{d|n}\frac{\mu(d)}{d} \]
證畢。