前言
在數學史上，有一個令人着迷的公式：
\[e^{i\pi}+1=0 \]它將數學里最重要的幾個數字聯系到了一起：兩個超越數：自然常數 \(e\) ，圓周率 \(\pi\) ，虛數單位 \(i\) 和自然數的單位 \(1\) ，以及被稱為人類偉大發現之一的 \(0\) 。
因為它過於完美，所以數學家們評價它是“上帝創造的公式”。
要證明上帝創造的公式了，好激動
證明：
前置知識🧀 ：
- 復數以及三角函數
- 微積分以及泰勒展開
正式證明：
在證明歐拉公式之前，我們先來看一下這個公式：
\[e^{i\alpha}=\cos \alpha+i\cdot \sin \alpha \]那么很顯然，歐拉公式就是當 \(\alpha\) 取到 \(\pi\) 時的特殊情況（\(\alpha\) 為弧度制），因為 \(\cos \pi=-1,\sin \pi=0\) ，移項即可。
接下來證明這個公式即可。其實這個公式用處還是挺大的，因為復數有三種表示形式：坐標式，三角式和指數式，即：
\[a+bi=r(\cos \theta+i\cdot \sin \theta)=r\cdot e^{i\theta} \]
顯然就可以看出公式成立，好吧證明一下。
-
我們設 \(f(x)=e^{ix},g(x)=\cos x+i\cdot \sin x\) ，那么如何證明這兩個函數相等？
-
很顯然，如果我們能夠證明兩個函數的圖像完全一致，那么就可以說明這兩個函數相等。
-
既然說到函數的圖像，那么自然而然地就能想到分別將這兩個函數泰勒展開，為了方便，這里就將其在 \(0\) 處展開（也稱麥克勞林展開）。
-
我們分別寫出這兩個函數的一階導數，二階導數，三階導數，四階導數……
將 \(f(x)\) 求導得：
\[\begin{aligned} f'(x)&=i\cdot e^{ix}\\ f''(x)&=-e^{ix}\\ f'''(x)&=-i\cdot e^{ix}\\ f''''(x)&=e^{ix}\\ \end{aligned} \\ \vdots \]將 \(g(x)\) 求導得：
\[\begin{aligned} g'(x)&=-\sin x+i\cdot \cos x\\ g''(x)&=-\cos x-i\cdot \sin x\\ g'''(x)&=\sin x-i\cdot \cos x\\ g''''(x)&=\cos x+i\cdot \sin x\\ \end{aligned} \\ \vdots \]我們發現，這兩個函數的導數都是每四個為一個循環，並將將其麥克勞林展開式都為：
\[h(x)=1+ix-\frac{1}{2!}x-\frac{i}{3!}x+\frac{1}{4!}x+\frac{i}{5!}x-\ldots \] -
至此，我們就證明了 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 是相等的，即 \(e^{i\alpha}=\cos \alpha+i\cdot \sin \alpha\) ，將 \(\alpha=\pi\) 代入即可得到 \(e^{i\pi}+1=0\) 。
后話：
微積分無所不能！！！
- 有一說一，微積分是真的挺好用的。
- 其實，學習知識更是學習一種工具，用來滿足自己對世界無窮無盡的好奇。發明知識，發明算法，就是發明了一件更為趁手的工具。而借助這件工具，許多之前看起來不可能解決的問題都能迎刃而解。