歐拉函數及其證明

歐拉函數定義：phi(n) = 1到n中與n互質的數的個數

　　有公式：　phi(n) = n* ∏ ( 1 - 1/pi )  其中p為n的所有質因子,每個質因子只算一次

下面是證明：

1.  當n為質數，顯然phi(n) = n-1

2.  當n=p^k  ，其中p為素數

 　　與n不互質的數必定有p因子，把p提出來

　　於是不互質的數有{ p*1, p*2, p*3, ......, p*p^(k-1) }

　　於是互質的數即phi(n)  = p^k - p^(k-1) = p^k  * ( 1 - 1/p )

3.  當n= (x^a)*(y^a), 其中x和y為不相同的素數

　　有phi(n*m)=phi(m)*phi(n) ,  當m和n互質

　　證明這個之前先證明   ( {1, 2, 3, 4, ....n } , {1, 2, 3, 4, ...... m }) 與 {1, 2, 3, 4, ...... m*n } 一一對應  (m,n互質)

　　①從m*n到（m,n）的唯一性

   　　　　m*n中的x，  x%m和x%n有唯一值

　　②從(m,n)到 m*n的唯一性

　　　　設從m中取x，x%m=r

　　　　則x對應m*n中的f可能值為 {r, m+r, 2m+r, 3m+r, .... (n-1)*m+r  }

　　　　這n個數組成了n的完全剩余系

　　　　因為這n個數兩兩之間的差值可表示為  k* m  (k<n)  

　　　　則 （k*m）%n=0不成立（    k<n , 而gcd(m,n)=1 即 m不提供n的因子 ） 

　　　　即每個數對n取模兩兩不同，則組成n的完全剩余系

　　　　因此假設再從n中取y， （x，y）可唯一確定一個m*n中的值

　　　　（似乎適用於中國剩余定理）可拓展到多維，即多個互質量

　　再看，（當m和n互質）只要x與m互質且x與n互質則x與m*n互質

　　任何與m互質的數x除以m的余數即（x%m）也必然與m互質，反之也如此

　　所以從（1...n）和（1...m）分別取x與n互質，y與m互質，則會唯一對應一個m*n中的值f 與m*n互質

　　而每個與（1...m*n）互質的值 f 都會唯一對應一個 （1...n）中與n互質的x和一個（1...m）中與m互質的y

　　所以phi(m*n) = phi(m) * phi(n)  ， (m，n互質)

　　證明完畢

那么這樣，對於要求歐拉值的n，將他因數分解成  pi^ai, 而 phi(pi^ai )= pi^ai ( 1 - 1/pi )

再將pi相乘得到n，就可以得出公式      phi(n) = n* ∏ ( 1 - 1/pi )  

代碼：

long long eular(long long n) {
    long long ans = n;
    for(int i = 2; i*i <= n; i++) {
        if(n % i == 0) {
            ans −= ans/i;
            while(n % i == 0)
                n /= i;
        }
    }
    if(n > 1)ans −= ans/n;
    return ans;
}

 從證明可以看出，歐拉函數是非完全積性函數

所以可以用線性篩來O(n) 預處理值

bool check[maxn];
int phi[maxn];
int prime[maxn];
int tot;//素數的個數
void phi_and_prime_table(int n) {
    memset(check,false,sizeof(check));
    phi[1] = 1;
    tot = 0;
    for(int i = 2; i <= n; i++) {
        if( !check[i] ) {
            prime[tot++] = i;
            phi[i] = i-1;
        }
        for(int j = 0; j < tot; j++) {
            if(i * prime[j] > n)break;
            check[i * prime[j]] = true;
            if( i % prime[j] == 0) {
                phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j];
                break;
            } else {
                phi[i * prime[j]] = phi[i] * (prime[j] - 1);
            }
        }
    }
}

 性質：

 考慮gcd，假設i與n的gcd為g，那么有g|n , gcd(n/g,i/g)=1