我真的很遜，所以有錯也說不定。
這篇很簡，所以看不懂也說不定。
總覺得小滿哥講過這個證明，雖然身為老年健忘選手我大概是不記得什么了。。
歐拉定理：\(a^{\varphi(n)} \equiv 1 \ (mod \ n)\) ，其中 \((a,n) = 1\)
費馬小定理：\(a^{p-1} \equiv 1 \ (mod\ p)\) ，其中 \((a,p) = 1\) ，容易發現是歐拉定理的一種特殊情況。
歐拉定理證明：（同余式默認模 \(n\)）
設 \(X_1,X_2,...,X_{\varphi(n)}\) 是 \(1\) 到 \(n\) 里與 \(n\) 互質的數，容易發現它們模 \(n\) 兩兩不同，且余數都與 \(n\) 互質（廢話，因為模了之后還是原數嘛）
然后我們發現 \(aX_1,aX_2,...,aX_{\varphi(n)}\) 好像也有如上兩個性質。。
模 \(n\) 兩兩不同：反證，若 \(aX_i \equiv aX_j \ (mod\ n)\) ，則 \(aX_i-aX_j \equiv 0\) ，則 \(a(X_i-X_j) \equiv 0\) ，由於 \(a\) 與 \(n\) 互質 ，\(X_i-X_j\) 不可能是 \(n\) 的倍數，所以模 \(n\) 一定不為 \(0\)
余數都與 \(n\) 互質：\(a\) 與 \(n\) 互質，\(X_i\) 與 \(n\) 互質，所以 \(aX_i\) 也 與 \(n\) 互質 （這很感性理解orz）
有了這兩個性質，我們就可以發現 \(aX_1,aX_2,...,aX_{\varphi(n)}\) 模 \(n\) 后一定是 \(\varphi(n)\) 個不同的與 \(n\) 互質的數，那不就肯定是 \(X_1,X_2,...,X_{\varphi(n)}\) 這個集合。
所以得到 $$X_1 \cdot X_2 ...X_{\varphi(n)} \equiv aX_1 \cdot aX_2 ...aX_{\varphi(n)}\ (mod\ n)$$
\(QED.\)