歐拉定理+歐拉篩選法

一、概念

互質關系

如果兩個整數（或者兩個以上的整數）的最大公約數是1，則稱他們為互質。也就是說兩個整數，除了1以外，沒有其它的最大公約數了，這兩個整數就叫做互質關系。
比如說7，11他們的最大公約數只有1，所以他們互質；8，10他們的最大公約數為1，2，所以這兩數不是互質關系。

歐拉函數

歐拉函數φ(n)是小於或等於n的正整數中與n互質的數的數目，稱為歐拉函數
比如說當n=8時，與8能形成互質關系的數有4個，分別是1，3，5，7，所以φ(8)=4
具體φ(n)函數的計算公式，可以分為以下四種情況：

情況一： 當n=1，φ(1)=1

因為1與任何整數都是互質關系，所以當n=1時，φ(1)=1

情況二：當n為質數，φ(n)=n-1

因為質數與小於它的每一個數，都構成互質關系，所以當n為質數時，φ(n)=n-1 。
比如說n=3時，1，2都跟他是互質關系， n=7時，1，2，3，4，5，6都跟他是互質關系。

情況三：n = p^k (p為質數，k為指數，且大於等於1)，n是質數的k次方，則φ(p^k) = p^k - p^(k-1) = p^k（1 - 1/p）

比如：φ(8) = φ(2^3) = 2^3 - 2^2 = 4
φ(27) = φ(3^3) = 3^3(1 - 1/3) = 18

情況四： n是兩個互質的整數之積，如：n = p1 * p1，則 φ(n) = φ(p1p2) = φ(p1)φ(p2)

比如：φ(56)=φ(8×7)=φ(8)×φ(7)=4×6=24

二、定理

同余定理

給定一個正整數n，如果兩個整數a和b滿足a-b能夠被n整除，即(a-b)/n得到一個整數，那么就稱整數a與b對模n同余，記作a≡b(mod n)。這就是同余定理。
例如：26≡2(mod 12)， 26%12 余2， 2%12余2， 26-2/12 = 0，所以26與2對模12同余

 

歐拉定理

在數論中，歐拉定理是一個關於同余的性質。歐拉定理表明，若n,a為正整數，且n,a互素（即），則

即與1在模n下同余；為歐拉函數。

首先看一個基本的例子。令a = 3，n = 5，這兩個數是互素的。比5小的正整數中與5互素的數有1、2、3和4，所以。計算：，而。與定理結果相符。

這個定理可以用來簡化冪的模運算。比如計算的個位數，實際是求被10除的余數。7和10互素，且。由歐拉定理知。所以        //歐拉函數φ(n)的作用就是把a^p表示成a^φ(n)*x+y
一般地，在簡化冪的模運算的時候，（當a和n互素） 我們要對a的指數取模：

當，則。

 

三、求歐拉函數

一、直接法

原理：

Euler函數表達通式：euler(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…(1-1/pn),其中p1,p2……pn為x的所有素因數，x是不為0的整數。euler(1)=1（唯一和1互質的數就是1本身）。

//直接法
int euler(int n)
{
  int res=n,a=n;
  for(int i=2;i*i<=a;i++)
  {
    if(a%i==0)
    {
      res=res/i*(i-1);
      while(a%i==0)
        a=a/i;
    }
  }
  if(a>1)
    res=res/a*(a-1);
    return res;
  }

 

二、歐拉篩選法

i表示當前做到的這個數，prime[j]表示當前做到的質數，那要被篩掉的合數就是i*prime[j]。若prime[j]在這個合數里只出現一次（i%prime[j]!=0），也就是i和prime[j]互質時，則根據歐拉函數的積性函數的性質，phi[i * prime[j]]=phi[i] * phi[prime[j]]。若prime[j]在這個合數里出現了不止一次（i%prime[j]=0），也就是這個合數的所有質因子都在i里出現過，

那么根據公式，φ(i * prime[j])=φ(i) *prime[j]。復雜度為O(n)。其中得到的prime[n]是1~n的所有質數

void euler(int n)
{
    phi[1]=1;//1要特判 
    for (int i=2;i<=n;i++)
    {
        if (flag[i]==0)//這代表i是質數 
        {
            prime[++num]=i;
            phi[i]=i-1;
        }
        for (int j=1;j<=num&&prime[j]*i<=n;j++)//經典的歐拉篩寫法 
        {
            flag[i*prime[j]]=1;//先把這個合數標記掉 
            if (i%prime[j]==0)
            {
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];//若prime[j]是i的質因子，則根據計算公式，i已經包括i*prime[j]的所有質因子 
                break;//經典歐拉篩的核心語句，這樣能保證每個數只會被自己最小的因子篩掉一次 
            }
            else phi[i*prime[j]]=phi[i]*phi[prime[j]];//利用了歐拉函數是個積性函數的性質 
        }
    }
}

 

三、另一種更簡潔的篩選法、推薦

const int maxn = 1e6+10;
int prim[maxn], w[maxn], cnt = 0;//prim[i]起標記作用，prim[i]==0表示i是質數，注意這里把1也標記成了質數
int x[maxn];//x[i]表示偶數是i的符合條件的兩個質數是x[i]和i-x[i];
void init()
{
  memset(prim, false, sizeof(prim));
  prim[1]=1;//1不是素數
  for(int i = 2; i < maxn; i++)
  {
    if(prim[i]) //判斷i是否為偶數
      continue;
    w[cnt++] = i;//w存質數
    for(int j = i << 1; j < maxn; j+=i)//把所有質數的倍數標記
     prim[j] = true;
  }
  
}

 

 

 歐拉公式的延伸：小於n的且與n互質的數的和是euler(n)*n/2

 

來源：CSDN
原文：https://blog.csdn.net/u012861385/article/details/24271435

鏈接： https://www.jianshu.com/p/9007f61e27a8
來源：簡書