歐拉定理

定義

如果正整數 \(n\) 和 整數 \(a\) 互質，那么就有

\[a^{\varphi \left( n \right)}\equiv 1\ \left( mod\ n \right) \]

其中歐拉函數\(\varphi \left( n \right)\) 為 ”小於 \(n\) 的正整數中並且與 \(n\) 互質的數的個數“。
互質：即自然數 \(X\) 和 \(Y\) 的最大公因/約數為1 栗子：7 和 3 公約數只有1。
\( \equiv \): 同余關系。例如：\(X\) \( \equiv \) \(Y\) (mod \(n\)), 即 \(X\) mod \(n\) 和 \(Y\) mod \(n\) 的余數相同。

基礎知識

1.唯一質數分解定理（Unique factorisation theorem）

任何一個正整數 \(n\) > 1 都可以唯一地分解為一組質數的乘積

\[n=2^{e_1}\times 3^{e_2}\times 5^{e_3}\times \cdots =\prod_{k=1}^{\infty}{p_{k}^{e^k}} \]

其中 \( e_1,e_2,\cdots \in N \) ，我們稱這個分解為 \(n\)的標准分解
解釋：因為一個數肯定是由合數和質數構成的，合數又可以分解成質數和合數，最后遞歸下去就會變成質數的乘積，最后化成了質數相乘的形式。如 \(100\rightarrow 4\times 25\rightarrow 2^2\times 5^2\)

2.最大公因/約數（GCD）、最小公倍數 （LCM）、互質（Coprime）

因數：指整數 a 除以 b (b!=0) 的商正好是整數而沒有余數，我們就可以說 b 是 a 的因數。
公因數：兩個或多個數共同都有的因數叫做公因數.
最大公因數：兩個或多個數都有的因數里最大的叫做最大公因數。

倍數：一個整數能夠被另一個整數整除，這個整數就是另一整數的倍數。如同上面的因數概念，a 即為 b的倍數。
公倍數：兩個或多個都有的倍數叫做公倍數。
最小公倍數：兩個或多個數都有的倍數里最小的叫做最小公倍數。

互質：對於整數 \(a,b\) 我們記 \( gcd\left( a,b \right) \) 和 \( lcm\left( a,b \right) \) 為 \(a,b\) 的最大公因數和最小公倍數，有時候我們會直接把他們簡寫為 \( \left( a,b \right) \) 和 \( \left[ a,b \right] \) 。如果 \( gcd\left( a,b \right) =1 \) ，我們稱 \(a,b\) 互質，也就是說他們沒有任何共同的質因數。Attention: 1不為質數/素數。

基本性質

• \( gcd\left( a,b \right) =gcd\left( a\pm b,b \right) \)
• \( gcd\left( na,nb \right) =ngcd\left( a,b \right) \)
• \( gcd\left( a,b \right) =\frac{a\cdot b}{lcm\left( a,b \right)} \)
• 裴蜀定理：存在整數 \(x,y\) 使得 \( gcd\left( a,b \right) =ax+by \)

3.同余關系（Congruence relations）

整數 a 和 b 除以 n 的余數相同，則稱 a, b 模 n 同於，記作

\[a\equiv b\ \left( mod\ n \right) \]

如果對於整數 \( a_1,a_2,b_1,b_2 \)

\[a_1\equiv b_1\left( mod\ n \right) \]

\[a_2\equiv b_2\left( mod\ n \right) \]

那么可以它們進行相加或相減

\[a_1\pm a_2\equiv b_1\pm b_2\left( mod\ n \right) \]

同時也能進行相乘

\[a_1a_2\equiv b_1b_2\left( mod\ n \right) \]

綜上兩條性質，即如果 \(a\equiv b\ \left( mod\ n \right)\)，那么

\[p\left( a \right) \equiv p\left( b \right) \left( mod\ n \right) \]

Attention: P(x) 為任意整數多項式。

這里需要注意的一點是，如果整數 \( a,b,c \) 滿足

\[ac\equiv bc\ \left( mod\ n \right) \]

那么只有當 \(n,c\) 互質時才可以把兩邊的 \(c\) 直接約掉，得到 \(a\equiv b\ \left( mod\ n \right)\) ，更一般的

\[a\equiv b\ \left( mod\frac{n}{gcd\left( n,c \right)} \right) \]

4.同余類(Residue class)、完全剩余系(Complete residue system)、縮剩余系(Reduced residue system)

通過一個整數模 \(n\) 的余數，我們可以把所有整數分成 \(n\) 類，記

\[\bar{r}_n=\left\{ m\in Z\ |\ mn+r \right\} \]

為模 \(n\) 余 \(r\) 的同余類（也叫剩余類）。

舉個例子

\[4_{10}=\left\{ \cdots ,-16,-6,4,14,24,\cdots \right\} \]

是模 10 余 4 的同余類

從 \( 0_n,1_n,2_n,\cdots ,\overline{\left( n-1 \right) }_n \) 中各挑出一個數就組成了一個模 \(n\) 的完全剩余系（完系） \( R_n \)

\[R_n=\left\{ r_0,r_1,\cdots ,r_{n-1} \right\} \]

其中 \( r_0\epsilon 0_n,r_1\epsilon 1_n,r_2\epsilon 2_n,\cdots ,r_{n-1}\epsilon \overline{\left( n-1 \right) _n} \)

換言之， \(n\) 個模 \(n\) 互相不同余的整數組成一個模 \(n\) 的完全剩余系。

我們稱 \( R_n=\left\{ 0,1,\cdots ,n-1 \right\} \) 為模 \(n\)的最小非負完全剩余系（最小非負完系）。

取一個模 \(n\) 的完全剩余系 \( R_n \) ，取出里面所有和 \(n\) 互質的數，這些數組成一個模 \(n\) 的縮剩余系（縮系），記為 \( \varPhi _n \)

\[\varPhi _n=\left\{ c_1,c_2,\cdots c_{\varphi \left( n \right)} \right\} \]

其中 \( \varphi \left( n \right) \) 是序言里提到的歐拉函數，代表「小於 \(n\) 的正整數中和 \(n\) 互質的數」的個數。

栗子： 假設\( R_6=\left\{ 36_0,7_1,14_2,15_3,22_4,23_5 \right\} \) 為模6的完全剩余系，下標為余數，從里面找出所有和 6 互質的數，組成一個 模 6 的縮剩余系 \( \varPhi _6=\left\{ 7_1,23_5 \right\} \)。我們可以發現1 和 5 也剛好是 \( \varphi \left( 6 \right) =2 \) 結果中的兩個與其互質的數。

注意，因為 \( gcd\left( c_i,n \right) =gcd\left( c_i+n,n \right) =1 \) ，每一個模 \(n\) 的縮剩余系有相同數量的元素（縮剩余系中的每一個數所屬的同余類是確定的，所以總共有確定的 $\varphi \left( n \right) $ 個同余類）

如果縮剩余系 \(\varPhi _n=\left\{ c_1,c_2,\cdots c_{\varphi \left( n \right)} \right\}\) 滿足 \( 1\le c_1,c_2,\cdots c_{\varphi \left( n \right)}\le n-1 \) ，那么稱其為模 \(n\) 的最小正縮剩余系（最小正縮系）。

5.歐拉函數(Euler's totient function)

對於正整數 \(n\) ， $\varphi \left( n \right) $代表「小於 \(n\) 的正整數中和 \(n\) 互質的數」的個數，這個函數被稱為歐拉函數；歐拉還告訴我們

\[\frac{\varphi \left( n \right)}{n}=\prod_{p|n}{\left( 1-\frac{1}{p} \right)} \]

其中 \(p\) 取到 \(n\) 的所有質因數

所以我們可以很方便的計算一個正整數歐拉函數的值（根據唯一質數分解定理），比如

\[\varphi \left( 1926 \right) =\varphi \left( 2\times 3^2\times 107 \right) =1926\left( 1-\frac{1}{2} \right) \left( 1-\frac{1}{3} \right) \left( 1-\frac{1}{107} \right) =636 \]

歐拉定理的證明

考慮模 \(n\) 的最小正縮系

\[\varPhi _n=\left\{ c_1,c_2,\cdots c_{\varphi \left( n \right)} \right\} \]

已知 \( gcd\left( a,n \right) =1 \) 我們在 \( \varPhi _n \) 的每一個元素前面都乘一個 \(a\)

\[a\varPhi _n=\left\{ ac_1,ac_2,\cdots ,ac_{\varphi \left( n \right)} \right\} \]

利用反證法可以證明 \( a\varPhi _n \) 也是一個模 \(n\) 的縮系（其元素的同余類的順序有可能會改變，但是這並沒有任何影響），假設

\[ac_i=ac_j\ \left( mod\ n \right) \]

其中 \( i\ne j \) ，因為 \(a,n\) 互質可以將兩邊消去 \(a\)，那么就得到

\[c_i=c_j\ \left( mod\ n \right) \]

這是不可能的，因為 \( \varPhi _n \) 中的元素互相模 \(n\) 不同余，矛盾啦！

接下來的思路就比較清晰了，因為 \( \varPhi _n \) 和 \( a\varPhi _n \) 都是模 \(n\) 的縮系

\[\prod_{i=1}^{\varphi \left( n \right)}{c_i}\equiv \prod_{i=1}^{\varphi \left( n \right)}{ac_i}=a^{\varphi \left( n \right)}\prod_{i=1}^{\varphi \left( n \right)}{c_i}\ mod\left( n \right) \]

顯然 \( gcd\left( n,\ \prod_{i=1}^{\varphi \left( n \right)}{c_i} \right) =1 \) 所以可以兩邊消去它

\[a^{\varphi \left( n \right)}\equiv 1\ \left( mod\ n \right) \]

補充說明： 因為 \( \varPhi _n \)為最小正縮系【{1，2，3，...，n-1}最小完全剩余系中挑選的與n互質的數組成】， 即 \( a\Phi _n\equiv \Phi _n\left( mod\ n \right) =\Phi _n \) 。那為什么兩個縮系各自的乘積取n得模依舊相等？ 例如\( \Phi _3=\left\{ 1,2 \right\} \) 和 \( 2\Phi _3=\left\{ 2,4 \right\} \) 我們發現 ，\( 1\times 2\ mod\ 3=2\times 4\ mod\ 3\ =\ 2 \) 且2，8都3互質。
證畢！

計算

求正整數 \( 3^{83} \) 的最后兩位數

按照定義：如果正整數 \(n\) 和 整數 \(a\) 互質，那么就有

\[a^{\varphi \left( n \right)}\equiv 1\ \left( mod\ n \right) \]

其中歐拉函數\(\varphi \left( n \right)\) 為 ”小於 \(n\) 的正整數中並且與 \(n\) 互質的數的個數“。

a = 3, n = 100(因為取后面兩位數，即mod 100), 且 3 和 100 互質，因此

\[\varphi \left( 100 \right) =100\left( 1-\frac{1}{2} \right) \left( 1-\frac{1}{5} \right) =40 \]

\[3^{\varphi \left( 100 \right)}=3^{40}\equiv 1\ \left( mod\ 100 \right) \]

\[3^{83}=3^3\times 3^{80}=3^3\times \left( 3^{\varphi \left( 100 \right)} \right) ^2\equiv 3^3\times 1=27\ \left( mod\ 100 \right) \ \]

參考

對這位的大神仔仔的數學小屋的文章進行了一丟丟修改，只是為了方便自己理解。