歐拉函數、歐拉定理和費馬小定理

對於正整數n，歐拉函數是小於等於n的正整數中與n互質的數的數目，表示為φ（n）。

性質1：對於素數p，φ（p）=p-1。

性質2：對於兩個互質數p，q，φ（pq）=φ（p）*φ（q）=（p-1）（q-1）。（積性函數）（易證）

性質3：若n是質數p的k次冪，φ（n）=p^k-p^k-1=（p-1）p^k-1，因為除了p的倍數外，其他數都跟n互質。

性質4：

因為：x可以分解成p1^q1×p2^q2×p3^q3……×pn^qn （pi為x的質因數）

因為pi^qi兩兩互質，所以：φ（x）=φ（p1^q1）×φ（p2^q2）×φ（p3^q3）……×φ（pn^qn） （性質2）

所以：φ（x）=（p1^q1-p1^q1-1）×（p2^q2-p2^q2-1）×（p3^q3-p3^q3-1）……×（pn^qn-pn^qn-1） （性質3）

提取x即得到公式。

性質5：n=Σφ（d|n）

yu大有個牛逼的證法，把1到n的所有數除以n，變成n個既約分數，分母d只可能是n的約數。並且，以d為分母的分數個數正好是φ（d）。因此，分數總數n=Σφ（d|n）。

歐拉定理：

對於互質的正整數a和n，有  

證明： 
( 1 ) 令 Zn = {x1, x2, …, xφ(n)} （mod n）， S = {a * x1, a * x2, … , a * xφ(n)} （mod n）， 
則 Zn = S 。 
① 因為 a 與 n 互質， xi (1 ≤ i ≤ φ(n)) 與 n 互質， 所以 a * xi 與 n 互質，所以 a * xi mod n ∈ Zn 。 
② 若 i ≠ j ， 那么 xi ≠ xj，且由 a, n互質可得 a * xi mod n ≠ a * xj mod n （消去律）。

( 2 ) a^φ(n) * x1 * x2 … xφ(n) mod n 
≡ (a * x1) * (a * x2) * … * (a * xφ(n)) mod n 
≡ (a * x1 mod n) * (a * x2 mod n) * … * (a * xφ(n) mod n) mod n 
≡ x1 * x2 * … * xφ(n) mod n 
對比等式的左右兩端，因為 xi (1 ≤ i ≤ φ(n)) 與 n 互質，所以 aφ(n) ≡ 1 mod n （消去律）。 
注： 
消去律：如果 gcd(c,p) = 1 ，則 ac ≡ bc mod p ⇒ a ≡ b mod p 。

費馬小定理：

a^p-1 ≡ 1 （mod p）（a<p） （性質1易證）

這是本人對歐拉函數、歐拉定理和費馬小定理的一點理解，如果有更好的方法或解釋，歡迎在評論區評論。。