【圖論】圖的歐拉定理

前置

平面圖的定義：若簡單圖 G=(V,E) 能畫在平面上使得任意兩條無重合頂點的邊不相交，則稱 G平面圖（Planar Graph）。

有些復雜的圖可以通過調換點的位置或者線的排布來使得其化簡成一眼就可以看清是平面圖的圖，而有些圖是沒有辦法形成平面圖的

圖的歐拉定理的描述

V-E+F=2，其中V為這張圖的點數，E為邊數，F為面數

圖的歐拉定理的推導

采用數學歸納法

當圖中只有一個點時，即V=1，E=0，F=1。

符合定理成立的條件

• 情況一

此時在原有的基礎上，在圖中產生一個點，並將該點與原有已經存在的點進行連接。

這時候V++,E++

V-E+F=2

發現增量會被抵消掉，式子依然是成立的

• 情況二

此時在已經存在的兩個不同的點之間產生一條邊，必然會多分割出一個面。

所以這個時候，E++,F++

發現增量還是會被抵消掉，式子依然是成立的。

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而所有的末態都可以在其初態的基礎上通過這兩種情況轉移出來。

故而，圖的歐拉定理一直成立。