淺談歐拉定理的證明

自己在校內互坑賽出了一道歐拉定理的板子題，但是因為數據水變成了模擬數學題，真是一個悲傷的故事。。。

說一下歐拉定理的證明吧，之前一直認為費馬小定理的證明很復雜，但是懂了歐拉定理之后就迎刃而解了。

首先，我們需要知道歐拉定理是什么：

​ 數論上的歐拉定理，指的是

\[a^x \equiv 1 (modn) \]

這個式子實在a和n互質的前提下成立的。

為什么成立呢？下面來證一下。

首先，我們知道在1到n的數中，與n互質的一共有\(φ(n)\)個，所以我們把這\(φ(n)\)個數拿出來，放到設出的集合X中，即為\(x_1,x_2……x_{φ(n)}\)。

那么接下來，我們可以再設出一個集合為M，設M中的數為：

\[m1=a*x1 \\m2=a*x2 \\…… \\mφ(n)=a*xφ(n) \]

下面我們證明兩個推理：

一、M中任意兩個數都不模n同余。

反證法。

證明：假設M中存在兩個數設為\(m_a,m_b\)模n同余。

​ 即\(m_a \equiv m_b\)

​ 移項得到：\(m_a-m_b=n*k\)

​ 再將m用x來表示得到:\(a*x_a-a*x_b=n*k\)

​ 提取公因式得到\(a*(x_a-x_b)=n*k\)

​ 我們現在已知a與n互質，那么式子就可以轉化為：\(x_a-x_b\equiv 0（modn)\)，因為a中沒有與n的公因子（1除外）所以a對模n同余0並沒有什么貢獻。

​ 又因為\(x_a,x_b\)都是小於n的並且不會相同，所以\(x_a-x_b\)一定是小於n的，那么上述的式子自然全都不成立。

​ 假設不成立。

證得：M中任意兩個數都不模n同余。

二、M中的數除以n的余數全部與n互質。

證明：我們已知\(m_i=a*x_i\).

​ 又因為a與n互質，\(x_i\)與n互質，所以可得\(m_i\)與n互質。

​ 帶入到歐幾里得算法中推一步就好了。

​ 即：

\[gcd(a*x_i,n)=gcd(m_i,n)=gcd(n,m_imodn)=1 \]

證畢。

根據我們證得的兩個性質，就可以開始推式子了。

首先，根據第二個性質可以知道，M中的數分別對應X中的每個數模n同余。

所以可以得到：

\[m_1*m_2*……*m_{φ(n)}\equiv x_1*x_2*……*x_{φ(n)}(mod n) \]

現在我們把\(m_i\)替換成x的形式，就可以得到：

\[a*x_1*a*x_2*……*a*x_{φ(n)}\equiv x_1*x_2*……*x_{φ(n)}(modn) \]

很顯然，我們應該移項了，但是在移項之前，我們認為這么多的a很煩，那么就先乘起來：

\[a^{φ(n)}*(x_1*x_2……*x_{φ(n)})\equiv x_1*x_2……*x_{φ(n)}(mod n) \]

很開心，我們終於湊出了\(a^{φ(n)}\),那么就開始移項吧：

\[(a^{φ(n)}-1)*(x_1*x_2……*x_{φ(n)})\equiv 0(mod n) \]

然后，就出來啦：

\[a^{φ(n)}\equiv 1(mod n) \]

證畢。

開心。