淺談歐拉函數

前言

很早之前就已經接觸過歐拉函數這個知識，不久之前也學習了利用篩法求1到n之間的所有歐拉函數值。里面用到了一些歐拉函數的性質。出於好奇心，我特意學習歐拉函數性質的一些證明，今天在此分享給大家。

歐拉函數

說到歐拉函數 \(\phi\) ，首先要明確的就是它的定義：
1、歐拉函數是定義在正整數集合上的函數；
2、\(\phi(1)=1\) ；
3、當 \(n\geq 2\) 時，\(\phi(n)\) 表示小於 \(n\) 且與 \(n\) 互質的正整數（包括 \(1\)）個數。
$\quad $ 比如 \(\phi(2)=1, \phi(3)=2, \phi(4)=2\) 。

歐拉函數有幾個重要的性質，下面我就詳細地講解與證明。

歐拉函數的性質

性質一

若 \(n\) 為質數，\(\phi(n)=n-1\) 。

這個性質很好證明，因為對於質數 \(n\) ，從 \(1\) 到 \((n-1)\) 中的所有整數都與 \(n\) 互質。

性質二

當 \(gcd(m,n)=1\) 時， \(\phi(mn)=\phi(m)\phi(n)\) 。特別的，若 \(m,n\) 都為質數， \(\phi(mn)=(m-1)(n-1)\) 。

這條性質的證明需要用到中國剩余定理，可以證明 \(\phi\) 為積性函數（指對於所有互質的整數 \(a\) 和 \(b\) 有性質 \(f(ab)=f(a)f(b)\) 的數論函數）。

同樣的，用數學歸納法可證，若 \(m_1,m_2,\cdots ,m_n\) 之間兩兩互質，則

\[\phi(\prod_{i=1}^{n}m_i)=\prod_{i=1}^{n}{\phi(m_i)} \]

性質三

若 \(n=p^k\) ，其中 \(p\) 為質數，則 \(\phi(n)=p^k-p^{k-1}=p^k(1-\frac{1}{p})\) 。

這條性質證明很簡單，因為只有 \(p\) 的倍數之外，即 \(1\times p, 2\times p ,\cdots,(p^{k-1}-1)\times p\) ，其余小於 \(n\) 的所有正整數都與 \(n\) 互質。

可以看出，性質一是 \(k=1\) 時的一個特例。

性質四

對於任意一個正整數 \(n\) ，都可以唯一地表示成若干質數乘積的形式，即\(n=\prod_{i=1}^m{p_i^{k_i}}\) （\(p_i\) 為質數），則

\[\phi(n)=n\prod_{i=1}^m{(1-\frac{1}{p_i})} \]

這條可以根據性質二，由於 \(p_i\) 為質數，所以任意 \(p_i^{k_i}\) 與 \(p_j^{k_j}\) 之間兩兩互質，可得

\[\phi(n)=\prod_{i=1}^m{\phi(p_i^{k_i})} \]

再根據性質三，可繼續化簡為

\[\prod_{i=1}^m{\phi(p_i^{k_i})}=\prod_{i=1}^{m}{p_i^{k_i}(1-\frac{1}{p_i})} =n\prod_{i=1}^{m}{(1-\frac{1}{p_i})}\]

性質五

若正整數 \(i\%p=0\) ，\(p\) 為質數，則 \(\phi(i\cdot p)=\phi(i) \cdot p\) 。

此條性質便是篩法求歐拉函數的數學基礎，有了性質四，此條性質就很好證明了。

設 \(i=\prod\limits_{j=1}^m{p_j^{k_j}}\) ，則 \(\phi(i)=i\prod\limits_{j=1}^m{(1-\frac{1}{p_j})}\) 。
由於 \(i\%p=0\) 且 \(p\) 為質數 ，所以 \(p\) 必然為 \(p_1\) 到 \(p_m\) 中的某一個數，所以 \(i\cdot p\) 的所有質因數依然為 \(p_1,p_2, \cdots,p_n\) ，因此

\[\phi(i \cdot p)=i \cdot p \prod\limits_{j=1}^m{(1-\frac{1}{p_j})} = \phi(i)\cdot p\]

性質六

小於 \(n\) 且與 \(n\) 互質的數之和為 \(n\cdot\frac{\phi(n)}{2}\) 。

證明這條性質只需證明若 \(gcd(n,i)=1\) ，則 \(gcd(n,n-i)=1\) ，這個用反證法即可證明。

證明了這個，就可得小於 \(n\) 且與 \(n\) 互質的數是兩兩關於 \(\frac{n}{2}\) 對稱的,共有 \(\frac{\phi(n)}{2}\) 對這樣的數 ，得證。

性質七

說到歐拉函數，不得不提大名鼎鼎的歐拉定理，即
對於互質的兩個數 \(a,m\) ，有 \(a^{\phi(m)}\equiv 1(mod\ m)\) 。

費馬小定理是歐拉定理的一個特殊情況，即
若 \(p\) 為質數，則 \(a^{p-1}\equiv 1(mod\ p)\) 。

這條定理證明有些復雜，等我以后有空再證。

今天准備去證明一下歐拉定理。

設 \(x_1,x_2,\cdots,x_{\phi(m)}\) 為 \(1\) 到 \(m-1\) 之間與 \(m\) 互質的所有整數，它們模 \(m\) 后兩兩不同且與 \(m\) 互質（廢話）。

然后我們證明 \(ax_1,ax_2,\cdots,ax_{\phi(m)}\) 也有這兩個性質。

1、首先證明 \(ax_1,ax_2,\cdots,ax_{\phi(m)}\) 模 \(m\) 后兩兩不同：

反證法，假設 \(ax_i \equiv ax_j(mod\ m)\ (i < j)\) ，則 \(a(x_j-x_i) \equiv 0(mod\ m)\) ，即 \(a(x_j-x_i)\) 是 \(m\) 的倍數，而 \(a\) 與 \(m\) 互質， \(x_j-x_i\) 也不可能是 \(m\) 的倍數，所以 \(a(x_j-x_i)\) 一定不是 \(m\) 的倍數 ，矛盾，得證。

2、然后再證明 \(ax_1,ax_2,\cdots,ax_{\phi(m)}\) 模 \(m\) 后的值皆與 \(m\) 互質。

設 \(r=ax_i\ mod\ m\) ，則 \(ax_i=pm+r\ (p \geq 0)\) ，因為 \(a,x_i\) 都與 \(m\) 互質，所以 \(ax_i\) 與 \(m\) 互質，所以 \(gcd(pm+r,m)=1\) ，由歐幾里得輾轉相減法可得 \(gcd(r,m)=1\) ，得證。

由上述兩條證明，我們可以發現 \(ax_1,ax_2,\cdots,ax_{\phi(m)}\) 模 \(m\) 后與 \(x_1,x_2,\cdots,x_{\phi(m)}\) 一一對應（不一定按照順序），所以我們可得：

\[\prod_{i=1}^{\phi(m)}{ax_i} \equiv \prod_{i=1}^{\phi(m)}{x_i}\ (mod\ m) \]

兩邊消去，

\[a^{\phi(m)}\equiv 1\ (mod\ m) \]

歐拉定理由此得證。

篩法求歐拉函數

有了上述理論知識，再回到線性篩法求歐拉函數本身，代碼也就不難理解了。

最后就貼一段代碼吧。

void get_eulers(int n) 
{
    phi[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i++) 
    {
        if (!com[i]) 
        {
            primes[cnt++] = i;
            phi[i] = i - 1;
        }
        for (int j = 0; j < cnt && i * primes[j] <= n; j++) 
        {
            com[primes[j] * i] = 1;
            if (i % primes[j] == 0) 
            {
                phi[primes[j] * i] = phi[i] * primes[j];
                break;
            }
            //pj一定是pj * i的最小質因子,而且pj還不包含在i的質因子當中
            phi[primes[j] * i] = phi[i] * (primes[j] - 1); 
        }
    }
}

后記

花了半天，歐拉函數的一些性質的總結終於講述結束了，感覺本蒟蒻的思維又得到了提升。爆贊！