歐拉函數

定義

歐拉函數ϕ(n)是不超過n且和n互質的正整數的個數。

下面直觀地看看歐拉函數：

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
φ(n)	1	1	2	2	4	2	6	4	6	4	10	4	12	6	8

定理

• 定理0 算術函數f如果滿足對於任意兩個互質的正整數m和n，均有f(mn)=f(m)f(n)，就稱f為積性函數（或乘性函數）。

如果對於任意兩個正整數m和n，均有f(mn)=f(m)f(n)，就稱為完全積性函數。

• 定理1 對於素數p，ϕ(p)=p−1。
• 定理2 ϕ(pⁿ)=pⁿ−pⁿ⁻¹，因為素數冪pⁿ不互質的只有p的倍數，一共有pⁿ/p=pⁿ⁻¹個。
• 定理3 若m、n互質，ϕ(mn)=ϕ(m)ϕ(n)，所以歐拉函數是積性函數。

因為mn互質，和m互質的數乘上和n互質的數就會和mn互質。

• 定理4 設n=p1^a1p2^a2...pk^ak為正整數n的素數冪分解，那么ϕ(n)=n(1−1/p1)(1−1/p2)...(1−1/pk)。

由定理2，ϕ(pⁿ)=pⁿ−pⁿ⁻¹=pⁿ (1-1/p)，又由定理3，ϕ(n)=p1^a1p2^a2...pk^ak(1−1/p1)(1−1/p2)...(1−1/pk)=n(1−1/p1)(1−1/p2)...(1−1/pk)

　　所以可以方便地求歐拉函數：邊找質因子邊算，res=n，找到一個質因子p，res=res/p*（p-1）。

int euler(int x){
    int res = x;
    for(int i=2; i*i<=x; i++)
        if(x % i == 0){
             res = res / i * (i - 1);
             while(x % i == 0) x /= i;
         }
    if(x > 1) res = res / x * (x - 1);
    return res;
}

 

也可以方便地求出所有數的歐拉函數。過程就是先讓每個phi[i]=i，再對每個質數p，j為它的倍數，phi[j]=phi[j]/p*（p-1）。

for(int i=1; i<=maxn; ++i) phi[i] = i;
for(int i=2; i<=maxn; i+=2) phi[i] /= 2;
for(int i=3; i<=maxn; i+=2)
    if(phi[i] == i){
        for(int j=i; j<=maxn; j+=i)
            phi[j] = phi[j] / i * (i - 1);
    }

 

• 定理5 設n是一個大於2的正整數，那么ϕ(n)是偶數。

對於素數p，ϕ(p)=p−1，大於2的素數是奇數，那么它的歐拉函數就是偶數。

對於合數n，

　　由定理2，ϕ(p^k)=p^k−p^k−1，

　　p=2時，ϕ(2^k)=2^k−2^k−1=2^k−1是偶數，

　　對於大於2的素數p，ϕ(p^k)=p^k−p^k−1,p為奇數，p的次方也為奇數，兩個奇數相減為偶數。

　　所以ϕ(p^k)為偶數。

　　又由定理3，ϕ(n)=ϕ(p1^a1)ϕ(p2^a2)...ϕ(pk^ak)，所以ϕ(n)一定是偶數。

• 定理6 ∑_d|nϕ(d)=n。

∑_d|nϕ(d)表示所有n的約數的歐拉函數值求和，Cd是gcd(n,x)==d的x(1≤x≤n)的集合，d不同的Cd集合不相交。

　　若m∈Cd，則gcd(n,m)=d，所以gcd(n/d,m/d)=1，由於1≤m≤n，所以1≤m/d≤n/d，所以m/d可以取小於n/d且與n/d互質的所有數，m和m/d個數相同，所以m的個數就是ϕ(n/d)，也就是|Cd|=ϕ(n/d)。1到n每個數和n的最大公約數一定是n的約數，那么所有集合Cd的所有元素個數之和就是n，也就是∑_d|n|Cd|=n。所以∑_d|nϕ(d)=n。