先看這樣一個問題：任意給定正整數n，請問在小於等於n的正整數之中，有多少個與n構成互質關系？（比如，在1到8之中，有多少個數與8構成互質關系？）
計算這個值的方法就叫做歐拉函數，以\(φ(n)\)表示。在1到8之中，與8形成互質關系的是1、3、5、7，所以 \(φ(n)\)= 4。
百度百科定義：在數論中，對正整數n，歐拉函數是小於n的正整數中與n互質的數的數目.
\(φ(n)\) 的計算方法並不復雜，但是為了得到最后那個公式，需要一步步討論。
\(（1）\) \(n=1\)，則 \(φ(1) = 1\) 。因為\(1\)與任何數（包括自身）都構成互質關系。
\(（2）\) \(n\)是質數，如果\(n\)是質數，則 \(φ(n)=n-1\) 。因為質數與小於它的每一個數，都構成互質關系。比如5與1、2、3、4都構成互質關系。
\(（3）\)如果\(n\)是質數的某一個次方，即 \(n = p^k\) (\(p\)為質數，\(k\)為大於等於\(1\)的整數)，則
\(φ(p^k) = p^k - p^{k-1}\)
比如 \(φ(8) = φ(2^3) =2^3 - 2^2 = 8 -4 = 4\)。
這是因為只有當一個數不包含質數\(p\)，才可能與\(n\)互質。而包含質數p的數一共有\(p^{k-1}\)個，即\(1×p、2×p、3×p、...、p^{k-1}×p\)，把它們去除，剩下的就是與\(n\)互質的數。
上面的式子還可以寫成下面的形式：
\(φ(p^k) = p^k - p^{k-1}=p^k(1-\frac{1}{p})\)
可以看出，上面的第二種情況是 \(k=1\) 時的特例。
\(（4）\)如果n可以分解成兩個互質的整數之積，\(n = p_1 × p_2\)，則\(φ(n) = φ(p1p2) = φ(p1)φ(p2)\)
即積的歐拉函數等於各個因子的歐拉函數之積。比如，\(φ(56)=φ(8×7)=φ(8)×φ(7)=4×6=24\)。
這一條的證明要用到"中國剩余定理"，這里就不展開了，只簡單說一下思路：如果\(a\)與\(p_1\)互質\((a<p_1)\)，\(b\)與\(p_2\)互質\((b<p_2)\)，\(c\)與\(p_1p_2\)互質\((c<p_1p_2)\)，則\(c\)與數對 \((a,b)\) 是一一對應關系。由於\(a\)的值有\(φ(p_1)\)種可能，\(b\)的值有\(φ(p_2)\)種可能，則數對 \((a,b)\) 有\(φ(p_1)φ(p_2)\)種可能，而\(c\)的值有\(φ(p_1p_2)\)種可能，所以\(φ(p_1p_2)\)就等於\(φ(p_1)φ(p_2)\)。
\(（5）\)因為任意一個大於1的正整數，都可以寫成一系列質數的積。
\(n=p_1^{k_1}p_2^{k_2}\ldots p_n^{k_n}\)
根據第4條的結論，得到\(φ(n) = φ(p1p2) = φ(p_1^{k_1})φ(p_2^{k_2})\ldots φ(p_n^{k_n})\)
再根據第3條的結論，得到\(φ(n)=p_1^{k_1}p_2^{k_2}\ldots p_n^{k_n}(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})\ldots (1-\frac{1}{p_n})\)
也就等於：
\(φ(n) =n(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})\ldots (1-\frac{1}{p_n})\)
這就是歐拉函數的通用計算公式。比如，1323的歐拉函數，計算過程如下：
\(φ(1323) = φ(3^3 \times 7^2) = 1323(1-\frac{1}{3})(1-\frac{1}{7}) = 756\)
參考博客：https://blog.csdn.net/paxhujing/article/details/51353672