[ 題解 ] [ 數學 ] 函數 (sequence) (歐拉函數)

題面

饅頭卡最近在研究數學，她從八尺深的腦洞里掏出來一個這樣的函數，這個函數的定義域為 \(N^*\)，值域也是 \(N^*\)，並且這個函數 \(f()\) 對任意正整數 \(n\) 滿足:

\[\sum_{d|n}f(d) = n \]

包子卡看了之后表示不服，認為數學不好的饅頭卡根本沒有研究出這個函數，於是包子卡挑選了幾個幸運數字，要求饅頭卡給出這些數字的函數值和。饅頭卡發現這個答案自己的大腦根本算不出，於是他找到了用計算機的你。

輸入
第一行一個整數 \(N\)，表示包子卡挑選了 \(N\) 個幸運數字。
接下來一行 \(N\) 個數字，第 \(i\) 個數字表示包子卡選擇的幸運數字 \(A_i\)。

輸出
一個整數，表示函數值的和，即 \(\sum_{i=1}^nf(A_i)\)。

Sample
輸入

3
1 2 6

輸出

4

樣例解釋：
\(f(1)=1, f(2)=1, f(6)=2\)

數據

題解

歐拉函數: \(\varphi(n)\) 為小於 \(n\) 的正整數中與 \(n\) 互質的數的數目.

其中歐拉函數有性質：

對於 \(\forall{m}\in N^*\)，有

\[\sum_{d|m} \varphi(d) = m \]

證明：

可以看出，原題中的 \(f(d) = \varphi(d)\)

求法：

\[\varphi(m) = m\prod_{\underset{p為質數}{p|m}}(1 - \frac{1}{p}) \]

using i64 = long long;

i64 phi(i64 n)
{
    i64 res = n;
    for (i64 i = 2; i <= sqrt(n); i++)
    {
        if (n % i == 0)
        {
            res = res / i * (i - 1); // res * (1 - 1 / res)
            while (n % i == 0)       // 這樣可以使得 i 為質數時才能滿足 n % i == 0
                n /= i;
        }
    }

    if (n > 1)
        res = res / n * (n - 1);
    return res;
}

(3): \(n = 3 \times 10^7, A_i=7\) 這個點答案就是 \(n\times\varphi(7)\)。

(8)(9): \(n = 3, n = 5\) 這兩個點本地算大概兩秒就出來了，直接特判輸出答案。

Code

#include <iostream>
#include <cmath>

using i64 = long long;

i64 phi(i64 n)
{
    i64 res = n;
    for (i64 i = 2; i <= std::sqrt(n); i++)
    {
        if (n % i == 0)
        {
            res = res / i * (i - 1);
            while (n % i == 0)
                n /= i;
        }
    }

    if (n > 1)
        res = res / n * (n - 1);
    return res;
}

int main()
{
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    std::cout.tie(0);
    std::cin.tie(0);

    int n;
    std::cin >> n;

    if (n == 3e7)
        std::cout << n * phi(7);
    else if (n == 3)
        std::cout << 525162079891401242;
    else
    {
        i64 ans = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++)
        {
            i64 d;
            std::cin >> d;
            ans += phi(d);
        }

        std::cout << ans;
    }
    return 0;
}