歐拉公式：
\[e^{i\theta}=\cos \theta + i \sin \theta \]
證明一
令
\[f(\theta)=\frac{e^{i\theta}}{\cos \theta + i \sin \theta} \]
對 \(f(\theta)\) 求導，可以得到：
\[\begin{aligned} f^{\prime}(\theta) &= \frac{\left(e^{i\theta}\right)^{\prime}(\cos \theta + i \sin \theta)-e^{i\theta}\left(\cos \theta + i \sin \theta\right)^\prime}{\left(\cos \theta + i \sin \theta\right)^2}\\ &= \frac{i\cdot e^{i\theta}(\cos \theta + i \sin \theta)-e^{i\theta}\left(-\sin \theta + i \cos \theta\right)}{\left(\cos \theta + i \sin \theta\right)^2}\\ &= \frac{i\cdot e^{i\theta}(\cos \theta + i \sin \theta)-i\cdot e^{i\theta}\left(\cos \theta +i \sin \theta\right)}{\left(\cos \theta + i \sin \theta\right)^2}\\ &=0 \end{aligned} \]
故 \(f(\theta)\) 為常數，\(f(\theta)=f(0)=1\)。證畢。
證明二
根據泰勒展開，有下列等式成立：
\[\begin{aligned} e^x &=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^n}{n!} \\ \sin x &=\sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^{n}\cdot \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \\ \cos x &=\sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^{n}\cdot \frac{x^{2n}}{(2n)!} \end{aligned} \]
將 $x=i\theta $ 代入 \(e^x =\sum_{\mathrm{i}=0}^{+\infty} \frac{x^\mathrm{i}}{\mathrm{i}!}\)，得到
\[e^{i\theta}=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{i^n\theta^{n}}{n!} \]
因為 \(i^n\) 有周期性，考慮將上面的式子按照奇偶項分類
\[\begin{aligned} e^{i\theta}&=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{i^{2n}\theta^{2n}}{(2n)!} + i\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{i^{2n}\theta^{2n+1}}{(2n+1)!}\\ &=\cos x+i\sin x \end{aligned} \]
證畢。