歐拉公式C++實現

歐拉函數Euler(n)：求[2,n]中有多少個數與n互素

直接利用公式：φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn)

其中：

• pi為x的素因數
• 每個素因數只用一次
  • 比如90=2 * 3^2 * 5
  • φ(90) = 90 * (1-1/2) * (1-1/3) * (1-1/5)

int Euler(int n) {
    int ans = n;
    for(int i = 2; i * i <= n; ++i) {	//注1
		if(n % i == 0) {	
			ans = ans - ans/i;	//x(1-1/p1)的變形
            while(n % i == 0) n /= i;	//注2
        }
    }
    if(n != 1) ans = ans - ans/i;	//注3
    return n;
}

注1：眾所周知，判斷因數時不用超過根號n，這跟判斷素數的算法是類似的

注2：前面說到了，每個素因數只有一次，但是有的素因數許多很多次冪，比如100=2^2*52，此時需要把素因數除盡。

​ 其實，代碼的實現原理不是像我們手動計算時，先找出所有的素因數然后代入公式。而是“步步蠶食”，有點類似於φ(90)=φ(2) * φ(45) = φ(9) * φ(5) = 6 * 4 = 24，即先把素因數2消掉，然后把素因數3消掉，最后把素因數5消掉。

注3：因為注1的限制，所以我們有的時候會遇到這樣的情況，明明還有素因數沒有被消掉，就已經跳出了循環，比如90，當我們消掉3之后，n變成了5，此時就會跳出for循環。所以我們才需要注3，來消掉素因數5。