歐拉公式


 

 1. 歐拉公式的發現

1740年10月8日,歐拉(Leonhard Euler ,1707~1783)寫了一封信給他的老師約翰·伯努利(Johann Bernoulli,1667 ~ 1748),信中他提到一個發現,微分方程:

微分方程的解可以用兩種方式給出,即:

微分方程的兩個解

把兩個解帶入方程,很容易驗證其正確性。(注:當時虛數還未被數學界公認,復平面的概念要到1799年才被韋塞爾提出來

最初歐拉對這個問題確實感到納悶,不過以他那非凡的數學靈感,他意識到,這兩個看上去相差很大的表達式,其實是相等的,后來歐拉用“i”來表示虛數單位,並沿用沿用至今,於是歐拉猜測:

 

歐拉第一方程

在給約翰·伯努利的另外一封信中,還清楚地看到,歐拉還知道:

                                      歐拉第二方程

歐拉的繼續研究中,關於自然對數的冪級數展開驗證了這兩個公式,更增強了他對以上兩個公式的信心,於是在1948年,歐拉在他的著作《無窮小分析引論》中,正式提出了歐拉公式。

                                               歐拉公式

2. 復平面上的單位圓

在復平面上畫一個單位圓,單位圓上的點可以用三角函數來表示:

  

3.對同一個點不同的描述方式

 

4. 歐拉公式的證明(歐拉公式與泰勒公式)

5.為什么 e^{i\theta } 是圓周運動?

從圖上可以推出 n\to \infty  時, e^ i 在單位圓上轉動了1弧度。

再來看看 e^{i\pi } ,這個應該是在單位圓上轉動 \pi  弧度:

看來 e^{i\theta } 確實是單位圓周上的圓周運動。

 

 

 資料來源:  

1.如何通俗地解釋歐拉公式(e^πi+1=0)?

 


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