1. 歐拉公式的發現
1740年10月8日,歐拉(Leonhard Euler ,1707~1783)寫了一封信給他的老師約翰·伯努利(Johann Bernoulli,1667 ~ 1748),信中他提到一個發現,微分方程:
微分方程的解可以用兩種方式給出,即:
微分方程的兩個解
把兩個解帶入方程,很容易驗證其正確性。(注:當時虛數還未被數學界公認,復平面的概念要到1799年才被韋塞爾提出來)
最初歐拉對這個問題確實感到納悶,不過以他那非凡的數學靈感,他意識到,這兩個看上去相差很大的表達式,其實是相等的,后來歐拉用“i”來表示虛數單位,並沿用沿用至今,於是歐拉猜測:
歐拉第一方程
在給約翰·伯努利的另外一封信中,還清楚地看到,歐拉還知道:
歐拉第二方程
歐拉的繼續研究中,關於自然對數的冪級數展開驗證了這兩個公式,更增強了他對以上兩個公式的信心,於是在1948年,歐拉在他的著作《無窮小分析引論》中,正式提出了歐拉公式。
歐拉公式
2. 復平面上的單位圓
在復平面上畫一個單位圓,單位圓上的點可以用三角函數來表示:
3.對同一個點不同的描述方式
4. 歐拉公式的證明(歐拉公式與泰勒公式)
5.為什么 是圓周運動?
從圖上可以推出 時,
在單位圓上轉動了1弧度。
再來看看 ,這個應該是在單位圓上轉動
弧度:
看來 確實是單位圓周上的圓周運動。
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