歐拉公式

 

 1. 歐拉公式的發現

1740年10月8日，歐拉（Leonhard Euler ，1707～1783）寫了一封信給他的老師約翰·伯努利（Johann Bernoulli，1667 ～ 1748），信中他提到一個發現，微分方程：

微分方程的解可以用兩種方式給出，即：

微分方程的兩個解

把兩個解帶入方程，很容易驗證其正確性。（注：當時虛數還未被數學界公認，復平面的概念要到1799年才被韋塞爾提出來）

最初歐拉對這個問題確實感到納悶，不過以他那非凡的數學靈感，他意識到，這兩個看上去相差很大的表達式，其實是相等的，后來歐拉用“i”來表示虛數單位，並沿用沿用至今，於是歐拉猜測：

 

歐拉第一方程

在給約翰·伯努利的另外一封信中，還清楚地看到，歐拉還知道：

                                      歐拉第二方程

歐拉的繼續研究中，關於自然對數的冪級數展開驗證了這兩個公式，更增強了他對以上兩個公式的信心，於是在1948年，歐拉在他的著作《無窮小分析引論》中，正式提出了歐拉公式。

                                               歐拉公式

2. 復平面上的單位圓

在復平面上畫一個單位圓，單位圓上的點可以用三角函數來表示：

  

3.對同一個點不同的描述方式

 

4. 歐拉公式的證明(歐拉公式與泰勒公式)

5.為什么  是圓周運動？

從圖上可以推出  時，  在單位圓上轉動了1弧度。

再來看看  ，這個應該是在單位圓上轉動  弧度：

看來  確實是單位圓周上的圓周運動。

 

 

 資料來源:  

1.如何通俗地解釋歐拉公式（e^πi+1=0）？