閑話復數（2）——歐拉公式

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　　歐拉公式被譽為“宇宙第一公式”，是大名鼎鼎的萊昂哈德·歐拉提出的。這位老大哥提出了很多著名的公式和定理，我們在RSA原理中遇到的歐拉函數就是他提出來的，還有圖論中那個著名的七橋問題，也是歐拉提出的。

　　

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　　1748年，歐拉在洛桑出版的《Introduction》中第一次出現了一個等式：

　　這就歐拉恆等式。等式的奇妙之處在於，它將數學中最重要的幾個常數聯系在一起：兩個無理數，自然對數e和圓周率π；兩個最簡單的常數，1和0；還有單位虛數 i。

　　歐拉到底是基於什么樣的腦回路寫下了這個等式？

 

歐拉公式

　　預理解歐拉恆等式，必先理解歐拉公式。歐拉公式的形式很簡單：

歐拉公式的由來

　　我們總說站在巨人的肩膀上，其實巨人也是站在另一個巨人的肩膀上，歐拉最早是通過泰勒公式觀察出歐拉公式的，把e^x在x₀=0點展開：

　　貌似得到了兩個更復雜的無窮級數，其實這兩個大家伙正是余弦和正弦的泰勒展開式。根據泰勒公式：

　　現在e^iθ可以變得簡單了：

　　當θ=π時得到歐拉恆等式：

歐拉公式的幾何意義

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　　上一章介紹了極坐標下的復平面，把e^iθ映射到極坐標，正好是模長r=1的向量：

　　這相當於把(1, 0)沿着原點逆時針旋轉了θ，因此e^iθ在極坐標下可以看作點繞着圓心在原點，半徑是1的圓做圓周運動。

　　歐拉公式描述的是點在復平面上的圓周運動，把 θ 看作時間，並用 t 代替 θ ，隨着時間的改變，這個點在時間軸上變成了一條螺旋線：

　　我們用Octave畫出這個螺旋線：

t = 0 : 0.02 : 10 * pi; % 在0到10π之間取10π/0.02個時間變量
r = 1; % 半徑
x = r * cos(t);
y = r * sin(t);
plot3(x, y, t);
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('t'); 

　　轉動這個圖形，可以看到歐拉函數在不同坐標系下的曲線。在復平面x-y上，歐拉公式形成了半徑為1的單位圓：

　　在x-t平面上，歐拉公式形成了余弦曲線，是e^it=cost + isint的實數部分：

　　在y-t平面上，歐拉公式形成了正弦曲線，是e^it=cost + isint的虛數部分：

　　可以看到，歐拉公式把正弦波和余弦波用指數形式統一起來。隨着時間的推移，點在時間軸上形成了螺旋線，在實軸和虛軸上形成了余弦和正弦曲線。

　　歐拉函數的核心是旋轉和頻率，現代物理學又告訴我們，世界和微觀世界都是旋轉的，從這個意義上來說，歐拉函數還真是宇宙第一公式。

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　　作者：我是8位的

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