這個發表於公元 $1748$ 年的數學公式，將三角函數與復指數函數巧妙地關聯了起來，它長成下面這個樣子
$$e^{ix} = \cos x + i \sin x$$
其中，$e$ 為自然常數，$i$ 為虛數，$x$ 是角度(使用弧度表示，單位 $rad$)。當參數 $x$ 等於 $\pi$ 的時候，歐拉公式可簡化成為：
$$e^{i\pi} + 1 = 0$$
如果不了解什么是復數以及復平面，可以先去閱讀博客。
在復平面上畫一個單位圓，因為三角函數的定義就是：坐標隨角度變化的函數，如果不理解可以去閱讀博客。所以單位圓上的點可以用三角函數
來表示為如下左圖，如果半徑為 $a$，則可以表示為如下右圖：
歐拉最早是通過泰勒公式觀察出歐拉公式：
$$e^{x} = 1 + x + \frac{1}{2!}x^{2} + \frac{1}{3!}x^{3} + \cdots \\
\sin x = x - \frac{1}{3!}x^{3} + \frac{1}{5!}x^{5} + \cdots \\
\cos x = 1 - \frac{1}{2!}x^{2} + \frac{1}{4!}x^{4} + \cdots $$
將 $x = i\theta$ 代入 $e^{x}$ 得
那歐拉公式怎么可以有一個直觀的理解呢？先來研究一下 $e^{i\theta}$ 在復平面上代表什么？其中 $\theta$ 是單位圓上的點與實軸正半軸的夾角。
在實數域上 $e$ 可以表示為極限
$$e = \lim_{n \rightarrow \infty}\left ( 1 + \frac{1}{n} \right )^{n}$$
所以在實數域上
$$e^{i} = \lim_{n \rightarrow \infty}\left ( 1 + \frac{i}{n} \right )^{n}$$
復數本身就是類似與向量的一種數，它的乘法會發生幅度和角度的變化，所以乘上 $1 + \frac{i}{n}$ 是進行伸縮和旋轉運動，$n$ 取值不同，伸縮和旋轉
的幅度不同。所以 $e^{i}$ 就是表示復數 $1 + \frac{i}{n}$ 做無數次乘上自身的乘法后得到的結果。
下面幾個圖分別表示 $n = 3$，$n = 10$，$n = 50$ 時的情況：
從圖上可以當取極限 $n\rightarrow \infty$ 時，復數 $1 + \frac{i}{n}$ 相當於復數 $1$，做無數次角度和幅度的變化后，復數 $\lim_{n \rightarrow \infty}\left ( 1 + \frac{i}{n} \right )^{n}$
就相當於復數 $1$ 旋轉了弧長為 $1$ 的距離。類似的：$e^{i\theta}$ 表示復數 $1$ 在單位圓上旋轉了弧長為 $\theta$ 的距離，$ae^{i\theta}$ 就表示復
數 $a$ 在半徑為 $a$ 的圓上旋轉了弧長為 $\theta$ 的距離。逆時針還是順時針旋轉取決於 $\theta$ 的正負，為正則表示逆時針旋轉。
這里沒有做代數上的證明，只是通過幾何直觀觀察的。現在回到下面這個式子
$$e^{i\pi} + 1 = 0$$
是不是可以一眼看出，$e^{i\pi}$ 就是復數 $1$ 逆時針旋轉 180 度，得到復數 $-1$，那加上 $1$ 后自然就是 $0$ 了。
所以總結一下：$e^{i\theta}$ 看作通過復數 $1$ 在單位圓上的圓周運動來描述單位圓上的點，$\cos \theta + i \sin \theta$ 通過復平面的坐標來描述單位圓上的點，
是同一個點不同的描述方式，兩者自然就會相等。
根據歐拉公式可以推出
$$\sin \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i} \\
\cos \theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$$
對於分子 $e^{i\theta} - e^{-i\theta}$ 和 $e^{i\theta} + e^{-i\theta}$ 都代表一個復數，當成向量來考慮，其實左圖紅線的位置不對，應該把起始點移到原點，但因為除了 $i$，所以沒關系。