FOC 算法基礎之歐拉公式

文章目錄

• 歐拉公式
• 幾何意義
• 復數平面
• 動態過程
• 加法
• FOC電壓矢量的推導
• 總結
• 參考

FOC中電壓矢量合成的推導，對於歐拉公式的幾何意義做了一個全面的回顧。

歐拉公式

歐拉是一個天才，歐拉公式甚至被譽為上帝創造的公式，然后在FOC算法中也可以看到歐拉公式的影子，不過因為是最基礎的知識，所以基本上的換算都是一筆帶過，但是如果這里沒有掌握就很難搞清楚實數平面如何換算到復數平面，以至於在SVPWM的求解中存在的都是向量運算，所以這里有必要理解歐拉公式的物理意義，這樣可以加深FOC算法的理解。
歐拉公式如下所示；
$\begin{cases} e^{ix} = cosx + isinx \cdots ①\\ e^{\pi i} + 1 = 0 \cdots ② \end{cases}$
這兩個公式都被稱之為歐拉公式；

$e$ 是自然對數的底， $i$ 是虛數（ $i=\sqrt{-1}$）。

根據式 ① 可以推導出以下另外兩個變式；
推導過程如下；
令 $x = -x$，可以得到④式，如下；
$\begin{cases} e^{ix} = cosx + isinx \cdots ③\\ e^{-ix} = cosx - isinx \cdots ④\\ \end{cases}$
所以 ③ 等式左右兩端與 ④ 式 相加得到；
$cosx = \cfrac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\cdots ⑤$
所以 ③ 等式左右兩端與 ④ 式 相減得到；
$sinx = \cfrac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\cdots ⑥$

幾何意義

$re^{i\theta}$則表示模長為 $r$的向量旋轉了角度 $\theta$，下面會進一步介紹。

復數平面

復數平面坐標 $x$軸作為實數軸， $y$軸作為虛數軸。這里可以通過歐拉公式，將實數平面換到復數平面，如下圖所示；

已知這是一個半徑為 $r$，圓心為 $O$的圓，則存在；
$re^{i\theta} = r(cos\theta + isin\theta)$
上式表示向量 $\overrightarrow{OP}$ 逆時針旋轉了角度 $\theta$ , $| \overrightarrow{OP}| = r$；

動態過程

假設向量 $\overrightarrow{OC}$逆時針旋轉，與 $x$軸夾角為 $\theta$，半徑 $r = 10$，即 $| \overrightarrow{OC}| = r =10$，具體如下圖所示；

這里分析一下圖中的幾個關鍵點；

• 紅色點的坐標為： $(\theta, 10sin\theta)$，紅色的正弦曲線為紅色點的運動軌跡；
• 綠色點的坐標為； $(10cos\theta, \theta)$，綠色的正弦曲線為綠色點的運動軌跡；
• $CG$為向量 $\overrightarrow{OC}$在 $x$軸上的投影， $|CG| = 10cos\theta$；
• $CH$為向量 $\overrightarrow{OC}$在 $y$軸上的投影， $|CH| = 10sin\theta$；

可以發現，向量在復平面做圓周運動，其實數域相當於是在做正弦運動。后面再FOC中的三相正弦波形的合成可以做一下分析。

加法

歐拉公式里的相加則比較簡單，相當於兩個向量的相加；
$\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}$
如下圖所示；

所以存在特殊情況當 $\theta = 0$時則有；
$\overrightarrow{AE} = |\overrightarrow{AE}|(e^{j(\theta+\cfrac{2\pi}{3})} + e^{j(\theta-\cfrac{2\pi}{3})} )$
直接進行符合向量相加；
$\overrightarrow{AE} = |\overrightarrow{AE}|e^{j(\theta+\pi)}$
具體如下所示；

FOC電壓矢量的推導

三相永磁同步電機的驅動電路如下圖所示；

詳細的坐標變換可以參考《FOC中的Clarke變換和Park變換詳解》，根據圖示電路可以發現在三相永磁同步電機的驅動電路中，三相逆變輸出的三相電壓為 $U_{A}$， $U_{B}$， $U_{C}$將作用於電機，那么在三相平面靜止坐標系ABC中，電壓方程滿足以下公式：

$\begin{cases} U_{A} = U_{m}cos\theta_{e} \\ U_{B} = U_{m}cos(\theta_{e} - \cfrac{2\pi}{3}) \\ U_{C} = U_{m}cos(\theta_{e} + \cfrac{2\pi}{3}) \end{cases}$

$U_m$為相電壓基波峰值；

因此根據前面式⑤ $cosx = \cfrac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\cdots ⑤$
可以將該方程組轉換到復平面可以得到，下式統一使用 $\theta$ 表示 $\theta_{e}$；
$\begin{cases} U_{A}= U_{m}cos\theta_{e} = \cfrac{ U_{m}}{2}(e^{i\theta} + e^{-i\theta})\\ U_{B}= U_{m}cos(\theta_{e} + \cfrac{2\pi}{3}) = \cfrac{ U_{m}}{2}(e^{(i\theta-\cfrac{2\pi}{3})} + e^{-(i\theta-\cfrac{2\pi}{3})})\\ U_{C} = U_{m}cos(\theta_{e} - \cfrac{2\pi}{3}) = \cfrac{ U_{m}}{2}(e^{(i\theta+\cfrac{2\pi}{3})} + e^{-(i\theta+\cfrac{2\pi}{3})}) \end{cases}$
因為需要將三相電壓合成矢量 $\overrightarrow{U} = \overrightarrow{U_A} + \overrightarrow{U_B} + \overrightarrow{U_C}$；下面增加向量的相位差；
$\begin{cases} \overrightarrow{U_A} = U_A *e^{j0}\\ \overrightarrow{U_B} = U_B *e^{-(j\cfrac{2\pi}{3})} \\ \overrightarrow{U_C} = U_C *e^{(j\cfrac{2\pi}{3})}\\ \end{cases}$

中間推導過程暫略，最終推導得到；
$\overrightarrow{U} = \cfrac{3}{2}U_me^{j\theta} = \cfrac{3}{2}U_me^{j\omega t}$

總結

磕磕絆絆寫了最后，基礎學科的掌握還不夠，很多知識回過頭來看，總會有新的收獲，但是由於筆者能力有限，文中難免出行錯誤和紕漏，望您能不吝賜教。

參考

https://www.matongxue.com/madocs/8.html