「學習筆記」歐拉數

定義

記一個排列 \(P\) 的升高為 \(k\) 當且僅當存在 \(k\) 個位置 \(i\) 使得 \(P_i<P_{i+1}\)。

那么定義歐拉數 \(\left\langle\begin{matrix}n\\k\end{matrix}\right\rangle\) 表示長度為 \(n\) 且有 \(k\) 個上升的排列的數量。

遞推式

通過討論 \(n\) 在最左邊，最右邊還是中間可以得出轉移：

\[\left\langle\begin{matrix}n\\k\end{matrix}\right\rangle = (k + 1)\left\langle\begin{matrix}n - 1\\k\end{matrix}\right\rangle + (n - k) \left\langle\begin{matrix}n - 1\\k - 1\end{matrix}\right\rangle \]

計算

高妙的組合意義

考慮計算 \(\left\langle\begin{matrix}n\\k\end{matrix}\right\rangle / n!\) 也就是概率，可以發現，對於 \(n\) 個實數的均勻分布 \((a_1, a_2, \cdots, a_n) \in (0, 1)^n\) 產生和排列 \(P\) 相同的偏序關系的概率是 \(\frac 1{n!}\)，這樣我們就可以將問題轉化為 \(a_i < a_{i + 1}\) 有 \(k\) 個的概率。

將 \(a\) 進行差分，定義 \(a_0 = 0,\ b_i = (a_i - a_{i - 1}) \bmod 1\)，顯然 \(b_i \in (0, 1)\)。

考慮 \(b_i\) 的實際意義，發現當 \(a_{i - 1} < a_i\) 時，\(b_i = a_i - a_{i - 1}\)，否則 \(b_i = 1 + a_i - a_{i - 1}\)，而 \(a_{i - 1} < a_{i}\) 有 \(k + 1\) 個（\(a_0 = 0\)），所以說 \(\sum b_i = n - k - 1 + a_n \in (n - k - 1, n - k)\)。這樣，問題就變為了給定 \(n\) 個 \((0, 1)\) 之間的實數 \(x_1, x_2, \cdots, x_n\)，求滿足 \(\sum x_i \in (n - k - 1, n - k)\) 的概率，可以轉化為 \(\sum x_i < n - k\) 的概率然后差分，設其為 \(F(n - k)\)。

使用幾何概型，由於樣本空間的“體積”是 \(1\)，所以答案就是滿足條件的區域的“體積”。

設 \(G(k)\) 表示 \(n\) 個隨機變量沒有限制的情況下的滿足 \(\sum x_i < k\) 的區域的“體積”。

考慮容斥有多少個 \(x_i > 1\)，能夠列出式子：

\[F(k) = \sum_{i = 0}^k (-1)^i \binom ni G(k - i) \]

接下來只需要知道如何計算 \(G(k)\) 即可。

將 \(n\) 個變量做前綴和，設為 \(t_i\)，那么只需要滿足 \(t_i < t_{i + 1}\) 且 \(t_n < k\) 的條件即可，由最開始的性質，可以將其對應到排列上得出概率為 \(\frac 1 {n!}\)。又因為 \(G(k)\) 是“體積”，所以 \(G(k) = \frac {k^n}{n!}\)，即：

\[F(k) = \frac 1 {n!} \sum_{i=0}^k (-1)^i \binom ni (k - i)^n \]

於是 \(\left\langle\begin{matrix}n\\k\end{matrix}\right\rangle\) 可以做到計算一個 \(\mathcal O(n)\)，計算一行 \(\mathcal O(n \log n)\)。

直接容斥

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設 \(F(n, k)\) 表示長度為 \(n\) 的排列，欽定有 \(k\) 個 < 的方案數。

考慮將 < 看成邊，那么排列中將會形成 \(n - k\) 個連通塊，而連通塊內部必須有序，連通塊之間可以任意打亂順序，所以方案數就是 \((n - k)!\begin{Bmatrix} n\\n - k \end{Bmatrix}\)。

由二項式反演：

\[\begin{aligned} \left\langle\begin{matrix}n\\k\end{matrix}\right\rangle &= \sum_{i = k}^n (-1)^{i - k} \binom ik (n - i)!\begin{Bmatrix} n\\n - i \end{Bmatrix}\\ &=\sum_{i = k}^n (-1)^{i - k} \binom ik \sum_{j = 0}^{n - i} \binom{n - i} j (-1)^{n - i - j} j^n\\ &=\sum_{j = 0}^{n - k} j^n (-1)^{n - k - j} \sum_{i} \binom ik \binom {n - i}j\\ &= \sum_{j = 0}^{n - k} (-1)^{n - k - j} j^n \binom {n + 1} {k + j + 1} \end{aligned} \]

解釋一下最后一步吧，由於 \(\binom ik = [x^{i - k}] \frac 1{(1 - x)^{k + 1}}, \ \binom {n - i}j = [x^{n - i - j}] \frac 1{(1 - x)^{j + 1}}\)，所以 \(\sum_i \binom ik \binom {n - i}j = [x^{n - j - k}] \frac 1 {(1 - x)^{k + j + 2}} = \binom {n + 1}{k + j + 1}\)。

同樣可以直接卷積求出一行歐拉數。