素數：因數只有 1 和它自己的數。只有兩個因數的數。
合數：除了素數和 1 的數。/ 因數 $>2$。
假設現在有一個合數 $x$。$x$ 一定是由若干個小於它的質數組成的（分解質因數）。
Q1：如何判斷一個數 $x$ 是不是素數？
如果 $x$ 只有兩個因數（$1$ 和 $x$）說明它是素數。
假如說 $x$ 是合數，那么 $x$ 除了 $1$ 和 $x$ 這兩個因數必定至少還有一個因數 $y$。那么 $2≤y≤x-1$ 。那 $y$ 有三種情況：$\begin{cases}y<\sqrt{x}\\y=\sqrt{x}\\y>\sqrt{x}\end{cases}$
不管是這三種的哪一個，我們都可以看出來 $\dfrac{x}{y} / y \le \sqrt{x}$ （必定有一個因數是 $\le \sqrt{x}$），就是說只要 $x$ 是合數，那么一定能找到一個因數 $y$，$2 \le y \le \sqrt{x}$。反過來說，如果一個數 $x$ 找不到在 $2$ ~ $\sqrt{x}$ 范圍里能整除 $x$ 的一個數 $y$，那 $x$ 就不是合數，是質數。（$1$ 除外）
所以說，我們想判斷 $x$ 是不是質數，只需要在 $2$ ~ $\sqrt{x}$ 這個范圍里找一個能整除 $x$ 的數 $y$，如果能找到，就說明 $x$ 是合數，找不到，就說明 $x$ 是質數。
程序：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int x;
int main(){
cin >> x;
if(x == 1){
cout << "No";
return 0;
}
for(int i=2; i<=sqrt(x); i++){
if(x%i == 0){
cout << "No";
return 0;
}
}
cout << "Yes";
return 0;
}關於互質：
定義：如果 $a$ 和 $b$ 互質，則 $(a,b)=1$。（$a$ 和 $b$ 只有一個公約數 $1$）
相鄰的兩個數互質。因為兩個不互質的數至少至少也要相差 $2$，然而相鄰的兩個數相差 $1$。
歐拉函數：（互質拓展）
對正整數
$n$，歐拉函數是小於 $n$ 的正整數中與 $n$ 互質的數的數目。
$φ(n)=n(1-\dfrac{1}{p_1})(1-\dfrac{1}{p_2})(1-\dfrac{1}{p_3})(1-\dfrac{1}{p_4})...\times (1-\dfrac{1}{p_k})$
$P_i$ 表示 $n$ 的質因數。
證明：（我的理解，可能不太嚴謹）
- 假如現在有一個數 $x$，那么 $x$ 和 $n$ 的公約數只有一個 $1$。
- 那我們先把 $n$ 分解質因數，$p_1,p_2,p_3....p_k$，我們不能讓 $x$ 擁有因數 $p_i$。$(1 \le i \le k)$
- 我們現在要求的就是 $n$ 里面有多少個數的因數不含 $p_1,p_2,p_3...p_k$ ，這些數的個數。
- 我們先考慮不含 $p_1$ 的數的個數，這個很好求，是 $n(1-\dfrac{1}{p_1})$。可以理解為每 $p_1$ 個數就會有一個 $p_1$ 的倍數。（比如 $2$，每兩個數中就有一個 $2$ 的倍數）
- 然后我們要在這不含 $p_1$ 的數中再篩出來也不含 $p_2$ 的數的個數。那就是 $n(1-\dfrac{1}{p_1}) \times (1-\dfrac{1}{p_2})$。
- 然后一直乘到 $p_k$。