Bases
這里給出的篩法是以線性篩素數的方法為基礎的。
利用了歐拉函數是積性函數的性質:對於任意互質的數\(a\),\(b\),有\(f(a*b)=f(a)*f(b)\)
篩法
類比於線性篩素數。
\(i\)以下的歐拉函數已經被篩出，我們利用\(i\)和\(prim\)往后更新。
如果\(i\)是素數，那么\(\varphi(i)=i-1\)
如果\(i\%prim[j]!=0\) ,那么\((i,prim[j])==1\), 則有\(\varphi(i*prim[j])=\varphi(i)*\varphi(prim[j])=\varphi(i)*(prim[j]-1)\)
如果\(i\%prim[j]==0\)，則\(\varphi(i*prim[j])=\varphi(i)*prim[j]\)（先甩結論）
有兩個證法：
1.
\(i\%prim[j]==0\)不能直接算的原因是它兩個不互質，那我們把它寫成互質的樣子。
設\(i*prim[j]=A*prim[j]^{m-1}*prim[j]=A*prim[j]^m\)
有個結論：如果\(p\)是質數，那么\(\varphi(p^k)=p^k-p^{k-1}=p^{k-1}*(p-1)\)
比較顯然，\(p^k\)是數的總數，而\(p^k\)只有\(p\)這一個質因子，所以它的因數都是\(p\)的倍數，即\(1*p,2*p,3*p,...,p^{k-1}*p\)，\(p^k\)的包含自己在內的因數個數有\(p^{k-1}\)個。
用總數\(p^k\)減去因數個數\(p^{k-1}\)就是 \(\varphi (p^k)\)。（這里總數和因數個數都算了自己本身，一減就把自己減掉了，所以沒有影響）
\(\varphi(p^k)=p^{k-1}*(p-1)\)
\(\varphi(p^{k-1})=p^{k-2}*(p-1)\)
聯立以上二式可得：\(\varphi(p^k)=\varphi(p^{k-1})*p\)
以下將\(prim[j]\)簡寫成\(p\)
\(\varphi(i*p)=\varphi(A)*\varphi(p^{m})=\varphi(A)*\varphi(p^{m-1})*p\)
而\(A*p^{m-1}=i\),則\(\varphi(A)*\varphi(p^{m-1})=\varphi(i)\)
那么\(\varphi(i*p)=\varphi(A)*\varphi(p^{m-1})*p=\varphi(i)*p\)
\(Q.E.D.\)
2.
歐拉函數有個通式：（先甩式子再證明）
\(\varphi(n)=n*(1-\frac{1}{p_1})*(1-\frac{1}{p_2})*...*(1-\frac{1}{p_n})\)，\(p_i\)是質因數
那么
\(\varphi(i)=i*(1-\frac{1}{p_1})*(1-\frac{1}{p_2})*...*(1-\frac{1}{prim[j]})\)
\(\varphi(i*prim[j])\\=(i*prim[j])*(1-\frac{1}{p_1})*(1-\frac{1}{p_2})*...*(1-\frac{1}{prim[j]})\\=i*(1-\frac{1}{p_1})*(1-\frac{1}{p_2})*...*(1-\frac{1}{prim[j]})*prim[j]\\=\varphi(i)*prim[j]\)
然后來說一下那個什么通式怎么來的：
這里也給出兩個證法：
1.容斥原理
設\(n\)的其中一個質因子是\(p\) ，\([1,n]\)中\(p\)的倍數有\(p,2p,3p,...\frac n p*p\)一共\(\frac n p\)個數，\([1,n]\)中不含因子\(p\)的數就一共有\(n-\frac n p\)個
設\(n\)的另外一個質因子是\(q\)，同理可得\([1,n]\)中不含因子\(q\)的數就一共有\(n-\frac n q\)個，根據容斥原理，\([1,n]\)中兩個質因子均不含的數的個數為\(n-\frac n p-\frac n q+\frac n {pq}=\frac {n(pq-q-p+1)} {pq}=\frac{n(p-1)(q-1)}{pq}=n*\frac{p-1}p*\frac{q-1}q=n*(1-\frac 1 p)*(1-\frac 1 q)\)
推廣到\(n\)的每一個質因子(變形時用到了分組分解因式的方法)，可得\([1,n]\)中所有\(n\)的質因子均不含的數的個數為\(n*\prod_{i=1}^k(1-\frac 1 {p_i})\)，其中，\(p_i\)是\(n\)的質因子。
即\(\varphi(n)=n*\prod_{i=1}^k(1-\frac 1 {p_i})\)
2.利用積性函數的性質
\(n=0\)時，\(\varphi(n)=0\) 成立
\(n=1\)時，\(\varphi(n)=1\) 成立
\(n\)為質數時,\(\varphi(n)=n-1\) 成立
\(n\)為一個質數的正整數次冪，即\(n=p^k\)時，\(\varphi(p^k)=p^k-p^{k-1}=p^{k}*(1-\frac1 p)=n*(1-\frac1 p)\) 成立
\(n\)為任意正整數時，根據算術基本定理可得\(n=p_1^{k_1}p_2^{k_2}p_3^{k_3}...p_m^{k_m}\)，其中\(p_i\)為質因數
根據積性函數的性質\(\varphi(n)\\=\varphi(p_1)\varphi(p_2)...\varphi(p_m)\\=p_1^{k_1}(1-\frac 1{p_1})p_2^{k_2}(1-\frac 1{p_2})p_3^{k_3}(1-\frac 1{p_3})...p_m^{k_m}(1-\frac 1{p_m})\\=n*(1-\frac 1{p_1})(1-\frac 1{p_2})...(1-\frac 1{p_m})\)
$Q.E.D . $
（怎么覺得證明通式比證明這個結論本身還要復雜
Code View
void Phi()
{
for(int i=2;i<=n;i++)
{
if(!vis[i]) prim[++pn]=i,phi[i]=i-1;
for(int j=1;j<=pn&&i*prim[j]<=n;j++)
{
vis[i*prim[j]]=1;
if(i%prim[j]==0)
{
phi[i*prim[j]]=phi[i]*prim[j];
break;
}
else phi[i*prim[j]]=phi[i]*(prim[j]-1);
}
}
}