[學習筆記]線性篩素數

線性篩素數指的是線性或者接近線性的方法，大多數指的是Eratosthenes篩法和歐拉篩

當然，這里不講一些神仙優化或特殊篩法（如\(Miller Rabin\)和素數必與\(6\)的倍數相鄰）

1、朴素篩法

朴素篩法就是一一驗證\(1\sim \sqrt{n}\)之內的數判斷，時間復雜度\(O(n\sqrt{n})\)

bool is_prime(int x){
	if(x==1) return 0;
	for(int i=2;i*i<=x;i++)
		if(x%i==0)
			return 0;
	return 1;
}

2、Eratosthenes篩法

其實就是找到一個素數，把其的倍數全部篩掉，時間復雜度\(O(n\ log\ log\ n)\)

題目傳送門

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int p[10000010];

int main()
{
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        p[i]=1;
    p[0]=p[1]=0;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(p[i]==1){
            for(int j=i*2;j<=n;j+=i)
                p[j]=0;
        }
    }
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int t;
        scanf("%d",&t);
        if(p[t]==1) printf("Yes\n");
        else printf("No\n");
    }
    return 0;
}

3、歐拉篩

歐拉篩就是找到了唯一篩掉一個數的篩法，所以時間復雜度是\(O(n)\)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=10000000+10;
int n,m;
int prime[maxn],cnt;
char vis[maxn];
inline int read(){
    register int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';ch=getchar();}
    return (f==1)?x:-x;
}

int main()
{
	n=read(),m=read();
	for(int i=2;i<=n;i++){
		if(!vis[i]) prime[cnt++]=i;
		for(int j=0;j<cnt&&i*prime[j]<=n;j++){
			vis[i*prime[j]]=1;
			if(i%prime[j]==0) break;
		}
	}
	int val,l,r,mid;
	while(m--){
		val=read();
		l=0,r=cnt-1;
		while(l<r){
			mid=(l+r)>>1;
			if(val<=prime[mid]) r=mid;
			else l=mid+1;
		}
		(prime[l]==val)?puts("Yes"):puts("No");
	}
	return 0;	
}