歐拉函數證明
歐拉函數定義：定義一個數n，φ(n)為不大於n的，與n互質的數的個數。
證明方法用到容斥定理：容斥定理的原理如圖：
A∪B∪C=A+B+C - A∩B - B∩C - A∩C + A∩B∩C;
歐拉函數證明：
小於等於n的基數有n個，討論所有n的素因子，只要是素因子的倍數的是都不是n的互質數。
首先如果如果n為素數那么，φ(n)=n-1；
如果n不是素數，只要除去n的質因子和n的質因子的倍數就可以了，①因為任意一個數都能表示成若干個素數的乘積，所以只要除去質因子的以及倍數就夠可以了，因為如果除去的不是質因子，那么這個因子還能繼續被分解成若干個質因子的乘積又能被n整除，綜上那么就有基數n減去所有是質因子倍數的個數，然后加上任意兩個，減三個，加四個…質因子積的倍數（容斥定理），②φ(n)=n - (n/p1 + n/p2 + n/p3 + n/p4 …. + n / pn - n / (p1 * p2) - n / (p1 * p3) ) …（容斥定理pn為質因子），所以②式得出的就是所有的互質數的個數。可化簡為φ(n)=n*(1-1/p1) *(1-1/p2) *(1-1/p3)…*(1-1/pk);
①式證明：當n=2時，顯然成立；
假設當n=k時成立；
那么當n=k+1時，如果n是素數那么顯然成立，如果不是素數那么n一定能分解成兩個數的乘積，又因為n=k時是成立的，所有綜上所述結論成立
另外歐拉函數還有兩條重要的性質，可以快速求出歐拉函數的值（a為N的質因素）
若( N%a ==0&&(N/a)%a ==0)則有：E(N)= E(N/a)*a;
若( N%a ==0&&(N/a)%a !=0)則有：E(N)= E(N/a)*(a-1);