歐拉函數##
歐拉函數，符號記作\(\varphi(n)\)，其值為小於\(n\)且與\(n\)互質的數的個數
性質##
①
對於質數\(n\)
\[\varphi(n) = n - 1 \]
②
對於\(n = p^k\)
\[\varphi(n) = (p - 1) * p^{k - 1} \]
③
【積性函數】
對於\(gcd(n,m) = 1\)
\[\varphi(n*m) = \varphi(n)*\varphi(m) \]
④
【計算式】
對於\(n = \prod p_i^{k_i}\)
\[\varphi(n) = n * \prod (1 - \frac{1}{p_i}) \]
⑤
【歐拉定理】
對於互質的\(a,m\)
\[a^{\varphi(m)} \equiv 1 \pmod {m} \]
⑥
小於\(n\)且與\(n\)互質的數的和：
\[S = n * \frac{\varphi(n)}{2} \]
⑦
對於質數\(p\)
若\(n \mod p = 0\)
\[\varphi(n * p) = \varphi(n) * p \]
若\(n \mod p \neq 0\)
\[\varphi(n * p) = \varphi(n) * (p - 1) \]
⑧
\[\sum\limits_{d|n} \varphi(d) = n \]
\[\varphi(n) = \sum\limits_{d|n} \mu(d) * \frac{n}{d} \]