歐拉函數一些定理的證明

參考書籍：《ACM-ICPC程序設計系列--數論及應用》

歐拉函數φ（n）指不超過n且與n互質的正整數的個數，其中n是一個正整數。

歐拉函數的性質：它在整數n上的值等於對n進行素因子分解后，所有的素數上的歐拉函數之積。

 

定義：

　　1.定義在所有正整數上的函數稱為算數函數

　　  2.算法函數f如果滿足對任意兩個互質的正整數n和m,均有f(mn)=f(n)f(m),就稱為積性函數。如果對任意的兩個正整數n和m，均有f(mn)=f(m)f(n),就稱為完全積性函數。

（歐拉函數就是一個積性函數證明：http://www.cnblogs.com/372465774y/archive/2012/10/16/2726282.html）

 

定理：

　　1.如果f是一個積性函數，對任意正整數n有素數冪分解n=p₁^a₁  * p₂^a₂  * .... *p_s^a_s,那么f(n)=f(p₁^a₁)*f(p₂^a₂)*...*f(p_s^a_s)。

　　  2.如果p是素數，那么φ(n)=p-1;反之如果p是一個正整數且滿足φ(p)=p-1,那么p是素數。　　

　　  3.設p是素數，a是一個正整數，那么φ(p^a)=p^a-p^a-1。

證明：比p^a小的數有p^a-1個，因為p^a只有一個素因子p,其中與p不互質的有p^a-1-1(分別是1*p,2*p,3*p....(p^a-1-1)*p )

所以φ(p^a)=(p^a-1)-(p^a-1-1)=p^a-p^a-1  證畢。

　　  4.設n和m是互質的正整數,那么φ（nm）=φ(n)φ(m)  (因為歐拉函數是積性函數嘛，上面有證明)。

         5.設n=p₁^a₁  * p₂^a₂  * .... *p_k^a_k 為正整數n的素數冪分解，那么

　　　　　　　　φ(n)=n * (1-1/p₁)*(1-1/p₂)*....*(1-1/p_k)  (算法的核心）

證明：由定理4可知φ(n)=φ（p₁^a₁）*φ（p₂^a₂）*.....*φ（p_k^a_k）

　　再由定理3得φ(n)=（p₁^a₁-p₁^a₁-1）*（p₂^a₂-p₂^a₂-1）*.....*（p_k^a_k-p_k^a_k-1）

　　提取因素得φ(n)=p₁^a₁ （1-1/p₁）*p₂^a₂（1-1/p₂）*p_k^a_k（1-1/p_k）

　　所以φ(n)=n * (1-1/p₁)*(1-1/p₂)*....*(1-1/p_k) 證畢。

推論：當n為奇數時，有φ(2n)=φ(n)；

證明：設n=p₁^a₁  * p₂^a₂  * .... *p_k^a_k(假設p1是2)    則 φ(n)=n * (1-1/p₁)*(1-1/p₂)*....*(1-1/p_k)

那么2n=p₁^a₁+1  * p₂^a₂  * .... *p_k^a_k  即φ(2n)=（p₁^a₁+1-p₁^a₁）*（p₂^a₂-p₂^a₂-1）*.....*（p_k^a_k-p_k^a_k-1）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  =p₁^a₁ （p₁-1）*p₂^a₂（1-1/p₂）*p_k^a_k（1-1/p_k）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  =n * （p₁-1）*(1-1/p₂)*....*(1-1/p_k)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  =n *(1-1/p₂)*....*(1-1/p_k)　

因為n為奇數所以沒有2這個素因子，即a1=0. 所以φ(n)=n *(1-1/p₂)*....*(1-1/p_k)=φ(2n) 證畢。

         6.設n是一個大於2的正整數，那么φ(n)是偶數

證明：因為φ(n)=（p₁^a₁-p₁^a₁-1）*（p₂^a₂-p₂^a₂-1）*.....*（p_k^a_k-p_k^a_k-1） 

情況一：n有2這個素因子時，p_i^a_i-p_i^a_i-1（令p_i=2）一定是偶數（偶數減偶數嘛）φ(n)是一個偶數的倍數當然是偶數了。

情況二 : n沒有2這個素因子，一定存在一個奇素因子，p_i^a_i-p_i^a_i-1為偶數(因為 p^a與p^(a-1) 均為奇數)

　　　　7.∑_d|nφ(d)=n  (即n的因子的歐拉函數值之和為n)

證明：

情況一：n=1時顯然成立

情況二：n≠1時，

 

 

定理基本介紹完了，我們來看代碼：

如果根據定理5直接實現：

int phi(int n)
{
    int rea=n;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(n%i==0)//找到素因子 
        {
            rea=rea/i*(i-1);
            while(n%i==0)//把該素因子全部約掉 
                n/=i;    
        }
    }
    return rea;
}

時間復雜度為O(n)，還可以優化降到O(√n),因為任何一個合數都至少有一個不大於√n的素因子，所以只需要遍歷√n即可

int phi(int n)
{
    int rea=n;
    for(int i=2;i*i<=n;i++)//變化的地方 
    {
        if(n%i==0)
        {
            rea=rea/i*(i-1);
            while(n%i==0)
                n/=i;    
        }
    }
    if(n>1)//有可能有一個大於√n素因子 
        rea=rea/n*(n-1);
    return rea;
}

如果最后n>1,為什么一定是一個大於√n的素因子。簡單說下，因為不可能是兩個及以上素因子的乘積。因為倒數第二個素因子一定小於√n。