\(\quad\quad前言\quad\quad\\\)
\(此證明，改編自中科大數分教材，史濟懷版\\\)
\(中科大教材，用的是先固定m，再放大m,跟菲赫金哥爾茨的方法一樣。\\\)
\(而我這里的證明，是依據m的任意性，后來發現小平邦彥的《微積分入門》里，也是用的這個方法，即，m的任意性。\\\)
\(中科大和菲赫金哥爾茨用的記號是a_{m},我在知乎咨詢龔漫奇老師后，根據龔老師的建議，改為a_{n,m}，以避免\\\)
\(混淆，否則a_{m}，相當於a_{n}的n取值m，只有一個變量n，取值m，而a_{n}{m}有兩個變量m,n\\\)
\(對e_{n,m}取極限時，相當於二元二次極限（注意，非二重極限），即n，m，一先一后取極限，而非二重極限\\\)
\(同時，我在證明中明確了數列極限的保不等式性的應用，\\\)
\(用了兩次數列保不等式性，把e當做常數數列。\\\)
\(中科大和菲赫金哥爾茨的先固定m，對n取極限之后，再對m取極限，本質上就是二元二次極限，但是並未明確提及\\\)
\(二元二次極限這個概念\)
\(------------------------------------------------------------\\\)
\(記S_{n}=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdot\cdot\cdot+\frac{1}{n!}\)
\(顯然，S_{n}是遞增數列, 且\)
\(S_{n}\leqslant1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdot\cdot\cdot+\frac{1}{2^(n-1)}<3\)
\(顯然，S_{n}是遞增\)
\(因為當n趨於無窮時，1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdot\cdot\cdot+\frac{1}{2^(n-1)}=3\)
\(故S_{n}是遞增有界數列，可知其必有極限，設其極限為S\)
\(則S=lim_{n \to \infty}\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdot\cdot\cdot+\frac{1}{n!}\)
\(對e_{n}進行二項式展開\)
\(e_{n}={(1+\frac{1}{n})}^{n}\) （其中，n\(\in\)\(N^{+}\))
\(\quad=\sum_{k=0}^{n}\)\(C_{n}^{n-k}\)\((\frac{1}{n})^{k}\)
\(\quad=1+\sum_{k=1}^{n}\)\(C_{n}^{n-k}\)\(\frac{1}{n^{k}}\)
\(\quad=1+\sum_{k=1}^{n}\frac{n!}{(n-k)!k!}\frac{1}{n^{k}}\)
\(\quad=1+\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k!}\frac{n!}{(n-k)!}\frac{1}{n^{k}}\)
\(\quad=1+\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k!}\frac{(n-k+1)(n-k+2)\cdot\cdot\cdot n}{n^{k}}\)
\(因為 1*2*3\cdot\cdot\cdot(n-k)(n-k+1)(n-k+2)...n\)
從1到n-k,一共是n-k個連續數字相乘，從n-k+1到n，合計k個連續數字相乘，從1到n，合計是n個連續數字相乘
故
上式\(=1+\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k!}\frac{(n-k+1)(n-k+2)(n-k+3)\cdot\cdot\cdot (n-2)(n-1)n(一共k個數字)}{nnn\cdot\cdot\cdot n(一共k個n)}\)
\(\quad=1+\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k!}\frac{n(n-1)(n-2)\cdot\cdot\cdot (n-k+3)(n-k+2)(n-k+1)(一共k個數字)}{nnn\cdot\cdot\cdot n(一共k個n)}\)
\(\quad=1+\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k!}\frac{n}{n}\frac{n-1}{n}\frac{n-2}{n}\cdot\cdot\cdot\frac{n-k+2}{n}\frac{n-k+1}{n}\)
\(\quad=1+\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k!}*1*(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})\cdot\cdot\cdot\frac{n-k+2}{n}\frac{n-k+1}{n}\)
\(\quad=1+\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})\cdot\cdot\cdot (1-\frac{k-2}{n})(1-\frac{k-1}{n})\) (一共k-1個括號)
展開連加號
\(\quad=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}(1-\frac{1}{n})+\frac{1}{3!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})+\cdot\cdot\cdot+\frac{1}{n!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})\cdot\cdot\cdot(1-\frac{n-1}{n})\)
上式最后一項，是取k=n，一共n-1個括號
上式一共n+1項
\(由上式可知\\\)
\(e_{n}\leqslant1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdot\cdot\cdot+\frac{1}{n!}\)
\(\quad\leqslant1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}\cdot\cdot\cdot+\frac{1}{2^n}\)
\(=1+1*\frac{1-\frac{1}{2}^n}{1-\frac{1}{2}}\)
\(=1+2*(1-\frac{1}{2}^n)\)
\(=1+2-\frac{1}{2^{n-1}}\)\(\\\)
< 3
\(且e_{n}\leqslant S\)
\(e_{n+1}={(1+\frac{1}{n+1})}^{n+1}\) （其中，n\(\in\)\(N^{+}\))
\(\quad=\sum_{k=0}^{n+1}\)\(C_{n+1}^{n+1-k}\)\((\frac{1}{n+1})^{k}\)
\(\quad=\sum_{k=0}^{n+1}\frac{1}{k!}\frac{(n+1)!}{(n+1-k)!}\frac{1}{(n+1)^k}\)
\(\quad=\sum_{k=0}^{n+1}\frac{1}{k!}\frac{(n+1-k+1)(n+1-k+2)(n+1-k+3)\cdot\cdot\cdot(n+1)(k個括號)}{(n+1)^k}\) bbbb
\(\quad=\sum_{k=0}^{n+1}\frac{1}{k!}\frac{(n+1-k+1)(n+1-k+2)(n+1-k+3)\cdot\cdot\cdot(n+1)(k個括號)}{(n+1)\cdot\cdot\cdot(n+1)(k個(n+1))}\)
\(\quad=\sum_{k=0}^{n+1}\frac{1}{k!}\frac{(n+1)n(n-1)\cdot\cdot\cdot(n+1-k+3)(n+1-k+2)(n+1-k+1)(k個括號)}{(n+1)\cdot\cdot\cdot(n+1)(k個(n+1))}\)
\(\quad=1+\sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k!}(1-\frac{1}{n+1})(1-\frac{2}{n+1})\cdot\cdot\cdot (1-\frac{k-2}{n+1})(1-\frac{k-1} {n+1})\) (一共k-1個括號)\(\\\)
\(\quad=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}(1-\frac{1}{n+1})+\frac{1}{3!}(1-\frac{1}{n+1})(1-\frac{2}{n+1})+\cdot\cdot\cdot+\frac{1}{(n+1)!}(1-\frac{1}{n+1})(1-\frac{2}{n+1})\cdot\cdot\cdot(1-\frac{n}{n+1})\)
\(即：e_{n}=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}(1-\frac{1}{n})+\frac{1}{3!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})+\cdot\cdot\cdot+\frac{1}{n!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})\cdot\cdot\cdot(1-\frac{n-1}{n})\\\)
\(即：e_{n+1}=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}(1-\frac{1}{n+1})+\frac{1}{3!}(1-\frac{1}{n+1})(1-\frac{2}{n+1})+\cdot\cdot\cdot+\frac{1}{(n+1)!}(1-\frac{1}{n+1})(1-\frac{2}{n+1})\cdot\cdot\cdot(1-\frac{n}{n+1})\\\)
\(可知e_{n+1}為n+2項，e_{n}為n+1項，e_{n+1}比e_{n}多一項，且前面的n+1項都大於e_{n}的對應位置的項\\\)
\(可知e_{n+1}>e_{n}, 可知e_{n}為遞增數列，且有上界3，根據單調遞增有界數列必有極限，可知e_{n}有極限。\)\(\\\)
\(為e，即lim_{n\to \infty}e_{n}=e\)
\(即lim_{n\to \infty}e_{n}=lim_{n\to \infty}（1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}(1-\frac{1}{n})+\frac{1}{3!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})+\cdot\cdot\cdot+\frac{1}{n!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})\cdot\cdot\cdot(1-\frac{n-1}{n}))\)
\(\forall m\in N^+且m\leqslant n,設\\\)
\(e_{n,m}=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}(1-\frac{1}{n})+\cdot\cdot+\frac{1}{m!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})\cdot\cdot\cdot(1-\frac{m-1}{n})\\\)
\(即：e_{n,m}是e_{n}的前m項和，所以，\forall n 都有下面的不等式成立\)
\(e_{n}\geqslant e_{n,m}\)
\(根據數列極限的保不等式性，兩側對n取極限，不等式依然成立，即：\\\)
\(lim_{n \to \infty}e_{n}\geqslant lim_{n \to \infty}e_{n,m}=1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdot\cdot+\frac{1}{m!}\)
\(即\quad e \geqslant lim_{n \to +\infty}e_{n,m}=1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdot\cdot+\frac{1}{m!}\)
\(此時該不等式左側為常量e，右側的最終結果，已經不包含變量n，僅包含變量m，而m的要求是m\leqslant n,此時n為無窮大,\\\)
\(所以m可以取任意值，即\forall m，都有 e\geqslant lim_{n \to \infty}e_{n,m}=1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdot\cdot+\frac{1}{m!}=S_{m}\\\)
由數列極限的保不等式性，對m取極限，可得
\(e\geqslant lim_{m \to \infty}lim_{n \to \infty}e_{n,m}=lim_{m \to \infty}\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdot\cdot++\frac{1}{m!}=S\)
\(而前面已經證明 e\leqslant S\)
\(故，得到S\leqslant e\leqslant S\quad\quad (注意 \geqslant意為"不小於",\leqslant意為“不大於”)\)
所以 e=S,即
\(e=lim_{n \to \infty}(\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdot\cdot+...\frac{1}{n!})\)
\(說明：在n\to \infty的過程中，e_{n}各項都在增大，趨於對應的階乘倒數，\\\)
\(在n取無窮大時，e_{n\to +\infty}所有項的極限都是階乘倒數，其極限和的極限是倒數階乘之和\\\)