海倫公式
一個邊長為 \(a,b,c\) 的三角形，其面積為：
\[\sqrt{p (p-a) (p-b) (p-c)} \]
其中 \(p=\frac{a+b+c}{2}\).
高
求面積當然要從高入手，如圖：
其中 \(D\) 為垂足，\(h\) 為高。設 \(BD = x\)，則 \(DC = a - x\).
可以得到：
\[\begin{cases} c^2 = x^2 + h^2 \\ b^2 = (a-x)^2 + h^2 \end{cases}\]
勾股定理的應用
可得
\[c^2 - x^2 = b^2 - (a-x)^2 \]
\[c^2 - x^2 = b^2 - a^2 + 2ax - x^2 \]
\[2ax = c^2 - b^2 + a^2 \]
\[x=\frac{c^2 - b^2 + a^2}{2a} \]
那么：
\[h^2 = c^2 - x^2 \]
\[= (c - \frac{c^2 - b^2 + a^2}{2a})(c + \frac{c^2 - b^2 + a^2}{2a}) \]
\[= \frac{2ac-c^2+b^2-a^2}{2a} \cdot \frac{2ac+c^2-b^2+a^2}{2a} \]
\[= \frac{-[(a-c)^2 - b^2]}{2a} \cdot \frac{(a+c)^2-b^2}{2a} \]
\[= -\frac{(a-b-c)(a+b-c)(a+c-b)(a+b+c)}{4a^2} \]
\[= \frac{(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)(a+b+c)}{4a^2} \]
則：
\[h = \sqrt{\frac{(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)(a+b+c)}{4a^2}} \]
\[= \frac{1}{2a} \sqrt{(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)(a+b+c)} \]
面積
\(\therefore\)
\[S= \frac{ah}{2} \]
\[= \frac{1}{4} \sqrt{(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)(a+b+c)} \]
\[= \sqrt{\frac{1}{16}(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)(a+b+c)} \]
令 \(p=\frac{a+b+c}{2}\)，則：
\[\begin{cases} a+b-c = (a+b+c)-2c = 2p-2c = 2(p-c) \\ a+c-b = (a+b+c)-2b = 2p-2b = 2(p-b) \\ b+c-a = (a+b+c)-2a = 2p-2a = 2(p-a) \\ a+b+c = 2p \end{cases}\]
\(\therefore\)
\[S = \sqrt{\frac{1}{16}(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)(a+b+c)} \]
\[= \sqrt{\frac{1}{16} \cdot 2 (p-c) \cdot 2 (p-b) \cdot 2 (p-a) \cdot 2p} \]
\[= \sqrt{p (p-a) (p-b) (p-c)} \]
得證。