現在，我們通過幾種不同的方法來闡述下歐拉公式的證明思想，即證明，e^πi + 1=0.
首先指數函數是定義在實數域上的，現在要延拓到復數域上，首先要定義e^i, e^ix是什么，嚴格地說，這是一種定義，而且，這個定義是合理的.
e^ix=cosx+isinx，e是自然對數的底，i是虛數單位，他將三角函數的定義域擴大到復數，建立了三角函數和指數函數的關系，它在復變函數論里占有非常重要的地位.
證法1：
泰勒中值定理：
若函數f(x)在開區間(a，b)有直到n+1階的導數，則當函數在此區間內時，可以展開為一個關於(x-x0)多項式和一個余項的和：
f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f''(x0)/2!.(x-x0)^2,+f'''(x0)/3!.(x-x0)^3+...+f(n)(x0)/n!.(x-x0)^n+Rn
其中，Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!.(x-x0)^(n+1),這里ξ在x和x0之間，該余項稱為拉格朗日型的余項.
注：f(n)(x0)是f(x0)的n階導數，不是f(n)與x0的相乘.
用此定理可以將任何有n階導數的函數展開成多項式的形式
所以，e^x,cosx,sinx：
e^x=1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+...
cos x=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!...
sin x=x-x^3/3!+x^5/5!-...
在e^x的展開式中把x換成±ix，則：
e^±ix
=1±x/1!-x^2/2!+x^3/3!∓x^4/4!...
=(1-x^2/2!+...)±i(x-x^3/3!...)
所以，e^±ix=cosx±isinx
將x換成-x，可得：
e^-ix=cosx-isinx
然后采用兩式相加減的方法得到：
sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)
cosx=(e^ix+e^-ix)/2
這兩個也叫做歐拉公式
將e^ix=cosx+isinx中的x取作π
就得到：e^iπ+1=0
注：(±i)^2=-1,(±i)^3=∓i,(±i)^4=1...
證法2：
證明之前需要定義exp,sin,cos函數和π
1.定義exp
先來定義exp函數，我們定義復指數函數，對於z，定義exp(z)為：
采用復級數的比例判別法可知，對於每個z，exp(z)都收斂，還有，exp（z）在C是復解析的.
exp(z)的性質有：
exp(z+w)=exp(z)exp(w)
~exp(z)=exp(~z)
定義歐拉數e為：
根據exp函數的性質第一點可以證明，對於每個實數x，有exp(x)=e^x
根據這個命題，我們將交互的使用記號，exp(x)和e^x
但是，如果，z是復數，那么，e^z則沒有指數的含義，只有exp(z)的另一種寫法.
2.定義三角函數
再來定義三角函數，如果，z是復數，那么，定義：
分別把cos和sin叫做余弦函數、正弦函數.
由定義可知，對於復數z，有：
從exp的冪級數定義，可得：
一般我們只用到實三角函數，同樣三角函數在C上是復解析的，三角函數的性質有，設：x，y是實數，那么，有如下各式：
且對於一切x∈R，有：
設，E是集合，E:={x∈(0,∞):sin(x)=0}，根據三角函數的性質，可知，存在c>0，使得E包含於[c,∞)，且，還有E是R中的閉集，於是，E含有他的一切附着點，從而，含有inf(E).
3.定義π
定義π，為：
π:=inf{x∈(0,∞):sin(x)=0}
於是，π∈E包含於[c,∞)，那么，π>0，而且，sin(π)=0,同樣，根據三角函數的性質，可以斷定：cos(π)<1，由於sin^2(π)+cos^2(π)=1，所以，cos(π)=-1.
於是，得到了歐拉公式
即，
此公式，將數學里最重要的幾個數字聯系到了一起.
兩個超越數：自然對數的底e，圓周率π，兩個單位：虛數單位i和自然數的單位1，以及數學里常見的0，數學家們評價他是上帝創造的公式，我們只能看他而不能理解他.
注意：
R + V - E=2，這是歐拉定理，實際上，他是費馬小定理的推廣.
，這是歐拉公式（之一）.