歐拉函數（例題）

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正題：

1.儀仗隊：

求從(0,0)點可以看到的點，我們考慮正比例函數的斜率，同一斜率上只能看到一個點，我們要知道對於斜率0~1在一個n*n的點陣中有多少可能的斜率使得有若干點在函數上。

觀察規律：

1*1：顯然答案為0（自己看到自己當然不算了）

2*2：有斜率0,1/2（當然0是重的，一下重復的就不再考慮了），所以多了一種，答案為1

3*3：多了1/3,2/3，答案為3

4*4：多了1/4,2/4,3/4；2/4重了，所以答案為5

5*5：多了1/5,2/5,3/5,4/5，答案為9

......

n*n:多了1/n,2/n,3/n,4/n,......,(n-1)/n中不重復的，不重復就是說分數要最簡。

那就成了求1~n中所有數i中1~i-1中與i互質的數的個數只和，即為歐拉函數。

求出和來之后最終答案應該為2*ans+1（我們算過了y=x的下半邊三角形的情況，還有上半邊呢？）

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
bool b[100010];
int n,prime[100010],total,phi[100010],ans;
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    b[0]=b[1]=1;
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!b[i])
        {
            prime[++total]=i;
            phi[i]=i-1;
        }
        for(int j=1;j<=total;j++)
        {
            if(i*prime[j]>n)break;
            b[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
                break;
            }
            else
            phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
        }
    }
    for(int i=1;i<=n-1;i++)ans+=phi[i];
    printf("%d",ans*2+1);
}

　　

2.Farey Sequence:

題目描述：對於任意整數n>1，存在分數集合序列F,F_i=a/b,其中0<a<b≤n,且(a,b)=1.給定T個正整數n，求F_n的項數。

 

解：

我們看這個集合的實質，集合不能有重復元素，所以分數必須是最簡，那就是說對b∈[1，n]，a∈[1，b-1]中滿足（a，b）互質的對數。

即求φ(1)+φ(2)+φ(3)+...+φ(n)，由於數據有多組，我們考慮預處理，用前綴和記錄對任意n的答案。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
bool b[100010];
int n,prime[100010],total,phi[100010],ans[100010];
int main()
{
	
    n=100000;
    b[0]=b[1]=1;
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!b[i])
        {
            prime[++total]=i;
            phi[i]=i-1;
        }
        for(int j=1;j<=total;j++)
        {
            if(i*prime[j]>n)break;
            b[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
                break;
            }
            else
            phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
        }
    }
    for(int i=2;i<=n;i++)
    ans[i]=ans[i-1]+phi[i];
    int t;
    scanf("%d",&t);
    for(int i=1;i<=t;i++)
    {
    	scanf("%d",&n);
    	printf("%d\n",ans[n]);
	}
}