歐拉函數（C語言實現）

歐拉函數（Euler's totient function）是指小於n的正整數中與n互質的數的數目，用φ(n)表示。特別的，φ(1)=1；

例如：φ(10)=4；1 3 7 9與10互質。

 

公式：φ(n)=n*(1-1/p(1))*(1-1/p(2))*(1-1/p(3))*...*(1-1/p(n))，其中p(1),p(2),p(3)...p(n)為n的所有質因數，每個質因數只能出現一次。

例如：φ(8)=8*(1-1/2)=4；1 3 5 7與8互質

           φ(10)=10*(1-1/2)*(1-1/5)=4；1 3 7 9與10互質

 

性質：

1.若n為質數，則φ(n)=n-1；（注意1非素數也非合數）例如φ(7)=7-1=6；1 2 3 4 5 6(除7外)均與7互質

2.若p為質數，n=p^k，則φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)*(p^(k-1))； 例如φ(9)=φ(3^2)=3^2-3^1=(3-1)*(3^(2-1))=6；1 2 4 5 7 8均與9互質

3.若m,n互質，則φ(m*n)=φ(m)*φ(n)=(m-1)*(n-1)；

引申：φ(2*n)=φ(2)*φ(n)=(2-1)*φ(n)=φ(n)；

 

歐拉定理：

若a,n為正整數且a,n互質，則a^φ(n) ≡ 1 (mod n)

費馬小定理：

若p為素數且a,p互質，則a^(p-1) ≡ 1 (mod p)

友情鏈接：

https://baike.baidu.com/item/MOD運算/7885553#4

 

下面放代碼：

#include<stdio.h>
#include<math.h>
int eular(int n)
{
    int res=n;
    for(int i=2;i<=sqrt(n);i++)//判斷n是否為質數
    {
        if(n%i==0)res=res/i*(i-1);//res=res*(1-1/i)先進行除法防止溢出 
        while(n%i==0)n/=i;
    }
    if(n>1)res=res/n*(n-1);
    return res;
}
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    printf("%d",eular(n));
    return 0;
}

 

謝謝觀看，如有問題歡迎提出並指正。