柯西-比內(Cauchy-Binet)公式的證明 及 對《來自特征值的特征向量》的理解
-------- 司徒鮮生@2019年11月15日
據新聞報道, 3個物理學家和數學天才陶哲軒研究出一個只用特征值就可以計算矩陣特征向量的公式, 我感覺很有趣, 這應該能夠應用在很多領域中, 所以仔細研究了一波.
研究公式耗費了我大半天, 我把所有的公式都推導了一遍, 也給出了一些我的看法, 現在把它們總結出來, 方便后人參考. 我給出了柯西-比內（Cauchy-Binet）公式(原文引理1)的更一般形式及其證明過程, 對該公式取特殊條件即可證明引理2.(該引理就是全文的主要結論). 不過相比之下, 還是陶哲軒對於引理2的證明更加簡潔, 雖然沒有用到引理1.
有人說需要矩陣是埃爾米特矩陣（自共軛矩陣）才可以應用，實際上並不是的，這個公式可以應用在任意矩陣上，還是有一定的實用價值。
我的證明有些地方可能不嚴謹, 歡迎讀者批評指正.
參考(文獻)
新聞報道(微信): 3個搞物理的顛覆了數學常識, 數學天才陶哲軒: 我開始壓根不相信
參考(文獻): Denton, P.B., Parke, S.J., Tao, T., Zhang, X., 2019. Eigenvectors from Eigenvalues. 未發表預印版.
0.說明
1. 化簡的方法
2. 運用行列式特征分解的方法
3. 聯立可得
從1,2我們可以看出，無需要求矩陣A是埃爾米特矩陣（自共軛矩陣）, 我們就可以獲得一個更一般形式的柯西比內公式，如下
4. 特殊情況1
5. 特殊情況2
6. 特殊情況3
7. 特殊情況4
8. 解釋及備注
9. 特征向量歸一化的驗證
