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特征值和特征向量

本文轉載自查看原文 2020-08-21 18:17 1006

1 基本定義

　　設 A 為 n 階方陣，若存在數 λ 和非零向量 x，使得：

　　則稱 λ 是 A 的一個特征值，x 為 A 的對應於特征值 λ 的特征向量。

　　先有一個直觀的印象：可以把矩陣看做是運動，特征值就是運動的速度，特征向量就是運動的方向。

　　注意，由於矩陣是數學概念，非常抽象，所以上面所謂的運動、運動的速度、運動的方向都是廣義的，在現實不同的應用中有不同的指代。

2 幾何意義

　　因為線性變換總是在各種基之間變來變去，所以下面都會把作圖所用的基和原點給畫出來。

　　在 $\vec{i_{}},\vec{j_{}}$ 下面有個 $\vec{v_{}}$ ：

　　隨便左乘一個矩陣 A，圖像看上去沒有什么特殊的：

　　調整下 $\vec{v_{}}$ 的方向，圖像看上去有點特殊了：

　　可以觀察到，調整后的 $\vec{v_{}}$ 和 $A\vec{v_{}}$ 在同一根直線上，只是 $A\vec{v_{}}$ 的長度相對 $\vec{v_{}}$ 的長度變長了。

　　此時，我們就稱 $\vec{v_{}}$ 是 $A$ 的特征向量，而 $A\vec{v_{}}$ 的長度是 $\vec{v_{}}$ 的長度的 $\lambda$ 倍， $\lambda$ 就是特征值。

　　從而，特征值與特征向量的定義式就是這樣的：

　　其實之前的 A 不止一個特征向量，還有一個特征向量：

　　容易從 $A\vec{v_{}}$ 相對於 $\vec{v_{}}$ 是變長了還是縮短看出，這兩個特征向量對應的特征 $\lambda$ 值，一個大於1，一個小於1。

　　從特征向量和特征值的定義式還可以看出，特征向量所在直線上的向量都是特征向量：

　　可以嘗試改變 $\vec{v_{}}$ 的位置，以及矩陣 A 的值 (特征空間會隨着矩陣改變而改變) 。有些值構成的矩陣沒有畫出特征空間，可能是因為它的特征值、特征向量是復數，也可能是不存在。

　　運動需要附加到具體的事物上才能觀察，要觀察矩陣所代表的運動，需要把它附加到向量上，可以把二維向量可以看作平面上的一個點：

　　似乎還看不出什么。但是如果反復運用矩陣乘法的話：

　　反復運用矩陣乘法，矩陣所代表的運動的最明顯的特征，即速度最大的方向，就由最大特征值對應的特征向量展現了出來。順便說下，對於復數的特征值、特征向量可以觀察到反復運用矩陣乘法的結果是圍繞着原點在旋轉，這里就不展開來說了。

3 相似矩陣

　　相似矩陣的定義是：設 A，B 都是 n 階矩陣，若有可逆矩陣 P，使 P^-1AP = B ，則稱 B 是 A 的相似矩陣，或說 A 和 B 相似。

　　這部分內容會涉及到矩陣乘法的知識，可以參考：如何理解矩陣乘法。可以了解到，矩陣是一種線性變換函數，這種線性變換是通過指定基下的矩陣 A 來表示的。

　　相似矩陣就是，同一個線性變換，不同基下的矩陣。

　　先上一張圖，說明不同基下的矩陣的變換思路：

　　其中有兩個基：V₁ 和 V₂。V₁ → V₂，可以通過 P^-1 轉換；V₂ → V₁，可以通過 P 轉換。

　　整個轉換的核心，就是上圖正中的文字：

　　 $\vec{v'}$ 是 V₂ 下的點， $\vec{v'}$ 通過 P 變為 V₁ 下的點，即 $P\vec{v'}$ ；在 V₁ 下，通過 A 矩陣完成線性變換，即 $AP\vec{v'}$ ，通過 P^-1 從變回 V₂ 下的點，即 $P^{-1}AP\vec{v'}$ 。

　　綜上，我們有：

　　可以認為：

　　那么 B 和 A 互為相似矩陣。

　　為什么我們需要相似矩陣呢？比如這個 A 矩陣：

　　可以這樣分解：

　　B 就是對角矩陣，看上去就很清爽，所以說相似變換就是坐標轉換，轉換到一個更方便計算的簡單坐標系。

4 特征值分解

　　我們知道，對於矩陣 A 可以對角化的話，可以通過相似矩陣進行下面這樣的特征值分解：

　　其中 Λ 為對角陣，P 的列向量是單位化的特征向量。(可以用定義推導出來)

　　拿個具體的例子來講：

　　對於方陣而言，矩陣不會進行緯度的升降，所以矩陣代表的運動實際上只有兩種：旋轉和拉伸。最后的運動結果就是這兩種的合成。

　　我們再回頭看下剛才的特征值分解，實際上把運動給分解開了：

　　我們來看看在幾何上的表現是什么，因此相似矩陣的講解涉及到基的變換，所以大家注意觀察基：

　　左乘 P ：

　　如果旋轉前的基不正交，旋轉之后變為了標准基，那么實際會產生伸縮，所以之前說的正交很重要。

　　繼續左乘對角矩陣 Λ ：

　　左乘 P^-1：

　　相當於，之前的旋轉指明了拉伸的方向，所以我們理解了：

特征值就是拉伸的大小

特征向量指明了拉伸的方向

　　回到我們之前說的運動上去，特征值就是運動的速度，特征向量就是運動的方向，而其余方向的運動就由特征向量方向的運動合成。所以最大的特征值對應的特征向量指明了運動速度的最大方向。

　　但是，重申一下，上面的推論有一個重要的條件，特征向量正交，這樣變換后才能保證變換最大的方向在基方向。如果特征向量不正交就有可能不是變化最大的方向。所以我們在實際應用中，都要去找正交基。但是特征向量很可能不是正交的，那么我們就需要奇異值分解了，這里就不展開了。

5 應用

　　圖片壓縮：例如，有下面這么一副 512 × 512 的圖片 (方陣才有特征值，所以找了張正方形的圖) ：

　　這個圖片可以放到一個矩陣里面去，就是把每個像素的顏色值填入到一個 512 × 512 的 A 矩陣中。

　　根據之前描述的有：

　　其中，Λ 是對角陣，對角線上是從大到小排列的特征值。

　　我們在 Λ 中只保留前面50個的特征值 (也就是最大的50個，其實也只占了所有特征值的百分之十) ，其它的都填0，重新計算矩陣后，恢復為下面這樣的圖像：

　　效果還可以，其實一兩百個特征值之和可能就占了所有特征值和的百分之九十了，其他的特征值都可以丟棄了。

主要參考：如何理解相似矩陣？、如何理解矩陣特征值和特征向量？

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