特征向量是一個向量，當在它上面應用線性變換時其方向保持不變。考慮下面的圖像，其中三個向量都被展示出來。綠色正方形僅說明施加到這三個向量上的線性變換。
在這種情況下變換僅僅是水平方向乘以因子2和垂直方向乘以因子0.5，使得變換矩陣A定義為：
通過應用這個變換向量
被縮放
。上面的圖表明一些向量（紅色）的方向不受此線性變換的影響。這些向量被稱為變換的特征向量，唯一地定義方形矩陣A。這個獨特，確定的關系正是這些向量被稱為“特征向量’（Eigen在德語意思是“明確的”）的原因。
在一般情況下，特征向量矩陣A的特征向量
滿足下列式子：
其中λ是所謂的“特征值”的一個標量值。這意味着，向量
上的線性變換A完全由λ定義。可以重寫（1）式為：
其中I是和矩陣A有相同維數的單位矩陣。
假定
不是空向量，等式（2）只能在（A-λI）不可逆的時候才能被定義。如果一個方陣是不可逆的，這意味着它的行列式必須等於零。因此，要找到A的特征向量，我們只需要解決以下公式：
將通過解等式（3）來確定矩陣A的特征向量和特征值。這個例子中的矩陣A被定義為：
計算特征值
為了確定這個例子中的特征值，我們將等式（4）代入到等式（3）中的矩陣A，得到：
計算行列式：
為了解決λ的二次方程，我們找到了判別式：
由於判別式嚴格為正，這意味着對於λ有兩個不同的值：
我們已經確定了兩個特征值λ1和λ2。需要注意的是大小為NxN的方陣總是具有N個特征值，每一個對應一個特征向量。特征值指定特征向量的大小。
計算第一個特征向量
現在，我們可以將等式（7）的特征值代入到等式（1）來確定特征向量。然后通過求解方程組得到特征向量。
我們首先對特征值λ1求解其對應的特征向量：
僅僅是方程組的矩陣符號，我們可以寫出它的等價形式：
並解決了用x12的一個函數解決了第一個等式：
因為特征向量僅僅代表一個方向（相應特征值表示幅度），特征向量的所有標量倍數是平行於該特征向量的向量，因此它們是等效的（如果我們標准化向量，它們將是相等的）。因此，進一步求解上面的方程組，我們可以自由地選擇了x11或x12的真實值，並用等式（9）來確定另一個。
對於這個例子，我們隨意地選擇x12= 1，使得x11=-1。因此，對應於特征值λ的特征向量是
計算第二個特征向量
計算第二個特征向量類似於第一特征向量。我們現在將λ2= 4代入等式（1），得到：
寫成方程組的形式：
用x21的函數式解決第一個等式得到：
隨意地選擇x21= 2，並發現x22= 3。因此，對應於特征值λ2=4的特征向量是：
參考：
https://blog.csdn.net/u010182633/article/details/45921929