特征向量是一个向量，当在它上面应用线性变换时其方向保持不变。考虑下面的图像，其中三个向量都被展示出来。绿色正方形仅说明施加到这三个向量上的线性变换。
在这种情况下变换仅仅是水平方向乘以因子2和垂直方向乘以因子0.5，使得变换矩阵A定义为：
通过应用这个变换向量
被缩放
。上面的图表明一些向量（红色）的方向不受此线性变换的影响。这些向量被称为变换的特征向量，唯一地定义方形矩阵A。这个独特，确定的关系正是这些向量被称为“特征向量’（Eigen在德语意思是“明确的”）的原因。
在一般情况下，特征向量矩阵A的特征向量
满足下列式子：
其中λ是所谓的“特征值”的一个标量值。这意味着，向量
上的线性变换A完全由λ定义。可以重写（1）式为：
其中I是和矩阵A有相同维数的单位矩阵。
假定
不是空向量，等式（2）只能在（A-λI）不可逆的时候才能被定义。如果一个方阵是不可逆的，这意味着它的行列式必须等于零。因此，要找到A的特征向量，我们只需要解决以下公式：
将通过解等式（3）来确定矩阵A的特征向量和特征值。这个例子中的矩阵A被定义为：
计算特征值
为了确定这个例子中的特征值，我们将等式（4）代入到等式（3）中的矩阵A，得到：
计算行列式：
为了解决λ的二次方程，我们找到了判别式：
由于判别式严格为正，这意味着对于λ有两个不同的值：
我们已经确定了两个特征值λ1和λ2。需要注意的是大小为NxN的方阵总是具有N个特征值，每一个对应一个特征向量。特征值指定特征向量的大小。
计算第一个特征向量
现在，我们可以将等式（7）的特征值代入到等式（1）来确定特征向量。然后通过求解方程组得到特征向量。
我们首先对特征值λ1求解其对应的特征向量：
仅仅是方程组的矩阵符号，我们可以写出它的等价形式：
并解决了用x12的一个函数解决了第一个等式：
因为特征向量仅仅代表一个方向（相应特征值表示幅度），特征向量的所有标量倍数是平行于该特征向量的向量，因此它们是等效的（如果我们标准化向量，它们将是相等的）。因此，进一步求解上面的方程组，我们可以自由地选择了x11或x12的真实值，并用等式（9）来确定另一个。
对于这个例子，我们随意地选择x12= 1，使得x11=-1。因此，对应于特征值λ的特征向量是
计算第二个特征向量
计算第二个特征向量类似于第一特征向量。我们现在将λ2= 4代入等式（1），得到：
写成方程组的形式：
用x21的函数式解决第一个等式得到：
随意地选择x21= 2，并发现x22= 3。因此，对应于特征值λ2=4的特征向量是：
参考：
https://blog.csdn.net/u010182633/article/details/45921929