矩陣的特征值和特征向量
定義
對於\(n\)階方陣\(A\)，若存在非零列向量\(x\)和數\(\lambda\)滿足\(Ax=\lambda x\)，則稱\(\lambda\)和\(x\)為一組對應的特征值和特征向量
在確定了特征值之后，可以得到對應\(x\)的無窮多個解
求解特征值和特征向量：
容易發現，\(\lambda\)是一個特征值，只需要滿足\(Ax=\lambda x\)有解，以\(x\)為元容易列出方程，其常數項為均0，系數矩陣為
\(\begin{bmatrix}\array{\lambda-A_{1,1}& -A_{1,2}& -A_{1,3}& \cdots & -A_{1,n}\\ -A_{2,1}&\lambda- A_{2,2} & -A_{2,3}& \cdots & -A_{2,n}\\ -A_{3,1} & -A_{3,2} & \lambda-A_{3,3} & \cdots & -A_{3,n}\\ \vdots& \vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\ -A_{n,1} & -A_{n,2} & -A_{n,3} &\cdots & \lambda-A_{n,n}}\end{bmatrix}=\lambda I-A\)
其中\(I\)是單位矩陣
這個方程有非零解的充要條件是：\(|\lambda I-A|=0\) （因為如果不為0，則矩陣滿秩，所有向量線性無關，無法得到0向量）
而\(|\lambda I-A|\)是一個\(n\)次多項式\(p(\lambda)\)，稱為特征多項式，所有的特征值\(\lambda\)就是\(p(\lambda)\)的根
應用
加速矩陣乘法：
由\(Ax=\lambda x\)，迭代該式可以得到\(A^nx=\lambda^nx\)
特殊矩陣的特征值
上三角矩陣
\(\lambda I-A=\begin{bmatrix}\array{\lambda-A_{1,1}& -A_{1,2}& -A_{1,3}& \cdots & -A_{1,n}\\ 0 & \lambda-A_{2,2} & -A_{2,3}& \cdots & -A_{2,n}\\ 0 & 0 & \lambda-A_{3,3} & \cdots &-A_{3,n}\\ \vdots& \vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\ 0 & 0 & 0 &\cdots & \lambda-A_{n,n}}\end{bmatrix}\)
帶入行列式即可知道\(\displaystyle |\lambda I-A|=\prod (\lambda -A_{i,i})\)
也就是說，主對角線上所有的\(A_{i,i}\)都是\(|\lambda I-A|=0\)的根