矩陣特征值
定義1：設A是n階矩陣，如果數
和n維非零列向量
使關系式
成立，則稱這樣的數成為方陣A的特征值，非零向量成為A對應於特征值的特征向量。
說明：1、特征向量
，特征值問題是對方陣而言的。
2、n階方陣A的特征值，就是使齊次線性方程組
有非零解的值，即滿足方程
的都是矩陣A的特征值。
3、
定義2：A為n階矩陣，稱
為A的特征矩陣，其行列式
為的n次多項式，稱為A的特征多項式，稱為A的特征方程。
說明：1、由定義得，是A的特征值，等價於是其特征方程的根，因此又稱為A的特征根。若是的
重根，則稱為A的重特征值（根）。
2、方程的任意非零解向量，都是對應於的特征向量。
3、A的特征矩陣也可以表示為
；
特征多項式也可以表示為
；
特征方程也可以表示為
。
4、求A的特征值就是求的根，求A的相應於的特征向量就是求的非零解向量。
求矩陣A的特征值及特征向量問題就轉化為求解多項式方程以及齊次線性方程組的通解問題。
下面是一些練習：
例 求
的特征值和特征向量
解 A的特征多項式為
所以A的特征值為
，
。
當時，對應的特征向量應滿足
，
即
解得
，所以對應的特征向量可取為
。故相應於
的全體特征向量為
當
時，由
，即
，解得
，所以對應的特征向量可取為
。故相應於
的全體特征向量為
例 設
，求A的特征值與特征向量。
解 
，
令
得A的特征值為
，
。
當時，解方程
。由
得基礎解系：
，故對應於的全體特征向量為
當時，解方程
。由
，得基礎解系為
，
，所以對應於的全部特征向量為：
（
，
不同時為0）。
例 設
，若3是A的一個特征值，求：y及A的其他特征向量。
解 設
因為3是A的一個特征值，所以3必為
的根，因此求得y=2及
的另一個根1，故A的全部特征值為-1，1，1，3
例 證明：若
是矩陣A的特征值，x是A的屬於
的特征向量，則
（1）
是
的特征值（m是任意正整數）。
（2）當A可逆時，
是
的特征值。
證明：（1）
再繼續施行上述步驟m-2次，就得
，故是矩陣的特征值，且x是對應於的特征向量。
（2）當A可逆時，
，由
可得
，故是矩陣的特征值，且x是對應於的特征向量。