特征值,特征向量: A是n階方陣, 對於數λ, 若存在非零列向量α,使得Aα=λα, 此時λ就是特征值, α對應於λ的特征向量
- λEα - Aα = 0, (λE-A)α=0, 所以(λE-A)x=0 的非零解↔|λE-A|=0
- λE-A: 叫做特征矩陣
- |λE-A|: 叫做特征多項式
- |λE-A|: 叫做特征方程
- λ: 叫做特征值, 特征根
- λ是A的特征值, α是λ對應對的特征向量, cα也是λ的特征向量(c≠0)
- 解帶λ的行列式:
- 完全展開|X|得方程組,(不推薦)
- 把某行盡可能化為零, 按行展開
- 提公因子(含λ)
- 相反數, 相同數, 行和列相同
特征值, 特征向量的基本性質:
- A和AT有相同的特征值(注:特征向量不一定相同)
- n個特征值λ1, λ2...λn,
- ∑λi=Σaii(i=1,...n)(特征值的和=矩陣對角線元素的和)
- λ1·λ2·...λn = |A|(所有特征值相乘=行列式的值)
- A可逆的充要條件是A≠0
- 互不相同的特征值λ1,λ2,...λm對應的特征向量α1,α2,...αn線性無關
- Kλ是KA的特征值,
- λk是Ak的特征值
- 1/λ|A|是A*的特征值
相似矩陣:, A,B是兩個同階方陣, 存在n階可逆矩陣P, 使得P-1AP=B, 那么我們就說方陣A,B相似. A~B
- 反身性: A~A, E-1AE=B
- 對稱性: A~B→B~A
- 傳遞性: A~B, B~C→A~C, P-1AP=B, Q-1BQ=C, 所以Q-1P-1APQ=C (PQ)-1A(PQ)=C
- A~B, A,B具有相同的特征值, 矩陣A,B的行列式|A|=|B|, 矩陣的跡tr(A)=tr(B)(跡是指祝對角線元素相加)
- |λE-A|=|λE-B|, 因為:P-1AP=B,所以|λE-P-1AP|=|λP-1EP-P-1AP|=|P-1||λE-A||P| = |λE-A|
- 如果A~B, A可逆↔B可逆, A-1~B-1
- 如果A~B, 則Am~Bm
- 兩個矩陣相似:
- tr(A)=tr(B)
- |A|=|B|
- 均可逆或者不可逆
- A-1~B-1
- Am~Bm
- 特征值相同
- r(A)=r(B)
- 定理: A相似余對角形↔A有n個線性無關的特征向量
- 推論: A有n個異互的特征根, A~對角形
- 定理: A~對角形↔對於ri重根, 基礎解系有ri個解
實對稱矩陣的對角化
- 含有n個線性無關向量的矩陣對角化
- 內積:2個向量(同型)的對應元素乘積的和(本質實一個數)
- 本身性, (α·α)=α12+α22+α32≥0 (α·α)=0↔α=0
- 對稱性, (α·β)=(β·α)
- 齊次性, (kα·β)=k(α·β), (α·kβ)=k(α·β), (kα·kβ)=k2(α·β), (α+β, γ)=(α,γ)+(β,γ), (k1α1+k2α2, m1β1+m2β2)=k1m1(α1,α2)+k1m2(α1,β2)+k2m1(α2,β1)+k2m2(α2,β2)
- (α·β)=αT·β=α·βT
向量的長度(范數, 模)
- 向量自身內積開平方: ||α||=(α·α)1/2 推廣: (α·α)=||α||2 當α=(-1, -1, 5), ||α||=[(-1)2+(-1)2+52]1/2 點到原點的距離, 特別的: ||α||=1, 單位向量, eg:α=(1,0,0), 單位化(標准化)
- 性質1: ||α||≥0, ||α||=0↔α=0
- 性質2(齊次性): ||kα||=|k|||α||
- 性質3: |(α,β)|≤||α||·||β||
- 性質4(三角不等式):||α+β||≤||α||+||β||
- 性質5(正交,垂直):(α,β)=0 α垂直β (0,α)=0
- 性質6(正交向量組): α1, ...αs, 兩兩正交(不包含零向量)
- 定理: α1,...αs正交向量組, α1,...αs線性無關
施密特正交化
- 給一組線性無關的向量組α1,...αs, 求與之等價的正交β1,...βs
- β1=α1
- β2=α2-[(α2,β1)/(β1,β1)]β1
- β3=α3-[(α3,β1)/(β2,β1)]β1-[(α3,β2)/(β2,β2)]β2
- β4=α4-[(α4,β1)/(β1,β1)]β1-[(α4,β2)/(β2,β2)]β2-[(α4,β3)/(β3,β3)]β3
正交矩陣:
- 定義: 如果矩陣A是以個n階方陣, 則AAT=E, 就說明A為正交矩陣
- 性質1: 如果矩陣A實正交矩陣, 則|A|=1 or -1 ,, 證明: ATA=E, |ATA|=1, |AT||A|, |A|2=1
- 性質2:矩陣A為正交矩陣, A-1=AT, 且A-1和AT均正交
- 性質3:如果A,B實正交矩陣, 那么A·B也是正交矩陣(AB)TAB=BTATAB=BTB=E
- 性質4: A正交矩陣, α,β列, (Aα, Aβ)=(α,β)
- 定理: 如果A是正交矩陣↔矩陣A的列(行)向量是標准正交向量組
實對稱矩陣的對角化
- 定理: 是對稱矩陣A的不同特征值的特征向量正交
- 正交相似: A,B同階,存在正交矩陣P,使得P-1AP=B, 那么A,B叫做正交相似